Mitkä ovat parhaat resurssit trigometrian oppimiseen? Päätin äskettäin jatkaa matematiikan kandidaatin tutkintoa unissa. Minulla oli tapana epäonnistua kaikissa matematiikkatunneissani D: n tai F: n kanssa, kunnes aloin opettaa itseäni, ja toistaiseksi olen onnistunut opettamaan itselleni geometriaa, algebraa jne. Saadakseni johdonmukaiset A: t. Ensimmäisten parin päivän aikana trigonometrian opiskelusta olen kuitenkin huomannut, että se on ollut jo turhauttavaa kokemusta (olen kokeillut noin 3 kirjaa toistaiseksi ja kamppailen edelleen ensimmäisten lukujen ymmärtämisen kanssa). Tietysti minun on voitettava tämä, jotta voin toimia hyvin laskennassa ja sen ulkopuolella.
Haluan henkilökohtaisesti mieluummin oppikirjasuosituksen, jonka voin ladata tai noutaa, joka ei [mieluiten] ole vanha ja joka ei saa trigonometriaa pelottamaan lähestymistapaa (varsinkin sellaista, jossa korostetaan ominaisuuksien / lauseiden takana olevien todisteiden ymmärtämistä). Minulla on hyvät suositukset online-luennoista tai videosarjoista, jos vaadit, mutta luulen vain, että opin parhaiten luottamalla oppikirjoihin kokemukseni perusteella.
Haluaisin myös alustan, joka suosittelee testaamaan trigonometrian taidot (en halua luottaa jatkuvasti kääntyviin sivuihin löytääksesi vastauksia parittomiin tai parillisiin ongelmiin oppikirjojen takaosasta testatakseni itseni), mieluiten halpa tai ilmainen. Käytän tällä hetkellä Khan Academy -sivustoa, mutta monista syistä ne eivät ole ihanteellisia minulle.
Kommentit
- Trigonometria on sellainen pieni osa mitä tarvitset laskemiseen! Ehdotan ’ mieluummin keskittymistä toimintoihin.
- Onko se todella? Tällainen helpottaa minua, koska olen ’ moiten jo Algebran kanssa, etenkin toiminnoissa. Erittäin mukava rationaalisen hajoamisen, funktion koostumuksen, logaritmien ym. Kanssa. Olen ’ ollut huolestunut laukaisusta vain jonkin aikaa. Lopulta löysin kuitenkin hyvän trig-oppikirjan ja asiat ovat nyt järkeviä!
- Siinä tapauksessa sinun pitäisi oppia JOTKA trigonometriaa, aivan perusasiat eikä 500 kirjaa, joita jokainen kirja näyttää sisältävän.
- Voisin antaa parempia vastauksia tiesin, mitkä aiheet saivat sinut tuntemaan jumissa tai hämmennyksessä. Olen yleensä fani ymmärtää enemmän ja muistaa vähemmän, mutta trigillä sinun on muistettava perusmääritykset.
- @JessicaB Syy, miksi pidän uudemmista oppikirjoista, on, että pidän uusien oppikirjojen tyylistä. Yritin joitain 1900-luvulta saakka, ja kävi ilmi, että kieli ja visuaaliset apuvälineet eivät ’ ollut niin houkuttelevia tai sopivia kuin toivoin. Puhumattakaan siitä, että uudemmissa oppikirjoissa on usein siistejä ominaisuuksia, vanhemmilla oppikirjoilla ei ole verkkoyhteyttä, kuten hyperlinkkejä (etenkin hyperlinkitettyjen sisältöluetteloiden), kirjasinten säätöjä, interaktiivisia kuvia jne.
vastaus
Schaumin pääpiirteet ovat yleensä hyvin käytännöllisiä ja halpoja. Sopivat hyvin vanhemmalle oppijalle. Usein vastaukset ovat heti ongelmien jälkeen ja lopussa. Ja saat kaikki vastaukset, ei pariton / parillinen gyp. Sopii näin itseoppimiseen.
Pidän tästä, yleisesti ja omistan sen: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10
Se on peräisin 1960-luvulta, joten kieli ei ole arkaainen, mutta se ei ole ”Uusi”. Etkö ole varma, mitä muuta etua kuin kieltä haluat uudemmista versioista, mutta jos haluat uudemman, heillä on äskettäinen 4. painos College Math, jonka saat sen sijaan.
Huomaa, tämä on yleinen ennakkolaskenta kirja (ja luultavasti mitä tarvitset). Mutta jos haluat vain käynnistysalustan, Schaumilla on myös se. Selvästi enemmän trig-ongelmia trig-kirjassa kuin prekalkkikirjassa (joka sisältää kaikki normaalit lukiokurssit).
Ps on helpompaa neuvoa sinua, jos olisit kertonut meille, mitkä kirjat epäonnistuivat. Kuten kirjoitin pitkän vastauksen turhaan?
Pss En ole varma, miksi trig on niin suuri este ihmisille. Mutta suosittelen ensin ajattelemaan syntiä ja cos: ta ja vastaavia yksikköympyrän yhteydessä, ei kolmioiden sivujen suhteita. Se on vain hieman yksinkertaisempi käsite ja ilman suhdetta seurata.
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn tekee siitä hieman monimutkaisemman puhumalla suhteista. Mutta kun opin sen, suuri hyöty oli aivan ensimmäinen johdanto ilman suhdelukuja … vain x- ja y-akselit yksikköympyrässä.
Kommentit
- Kiitos vastauksesta! Ja olet ’ oikeassa, minun olisi pitänyt mainita mitkä kirjat. 3 kirjaa ovat Trigonometry, 5. painos, Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies, Mary Sterling, ja College Trigonometry, Stitz ja Zeager, 2013. I ’ ll alkaa precalc at uni, kun kesä päättyy, ja olen ’ varma, että i ’ ll kasvaa mukavasti trigillä riittävän pian. keskimäärin, joten päätän ensimmäisen kurssini ilman liikaa kuoppia tiellä.
- Varmista, että työskentelet paljon ongelmia. Saatat tuntea ” I ’ m, etten saa sitä ”. Mutta jos työskentelet suuria määriä ongelmia, se vain syvenee päähän. Työskentelyongelmat tarkoittavat vastauksen kattamista, ongelman koko työskentelemistä. Tarkistetaan vastauksesi. Toistetaan (kokonaan) kaikki ongelmat, jotka jäävät tyhjästä (jopa typerien merkkien virheiden osalta). Kohtele sitä kuin urheilun fyysinen harjoittelu tai soittimen oppiminen. Ole ahkera.
- @RustyCore Selkeyden vuoksi ’ vaihdan paikallisesta korkeakoulusta. Se, mitä opiskelin yliopistossa, ei liittynyt matematiikkaan ja sillä oli hyvin vähän matematiikkavaatimuksia, joten ensimmäinen matematiikkatunnini unissa oli ennakkoluuloton.
- @vieras, ymmärrän. Mutta mielestäni Rusty oli ylimielinen ja töykeä. ’ Olen täysin tietoinen siitä, että tämän tutkinnon saaminen on todennäköisesti haastavin ja stressaavin aika elämässäni, mutta en halua ’ todella haluta sulkea itseni siitä vain siksi, että minulla ’ on vaikeuksia yhden aiheen kanssa. Useimmat ihmiset lopettavat ja sanovat, että he ’ eivät vain ole matematiikka-ihmisiä, kun he kohtaavat tieliikenteen esteen ja sulkevat itsensä heti matematiikan tai perusteiden, joita he tarvitsevat, päivittämiseksi. ’ Yritän välttää sitä, koska tein juuri sellaiset edelliset vuodet.
- @Lex_i, kuulostat kypsältä opiskelijaltakin, ja minulla on ollut paljon opiskelijoita kuten sinä, joka loistavasti. Toivon matemaattisten seikkailujesi tuovan sinulle iloa.
Vastaus
Ehkä visuaalinen lähestymistapa voisi täydentää tutkimustasi? Verkossa on paljon tällaisia resursseja, ei oppikirjoissa. Esim. Käynnistä intuitiivisesti :
Huomaa: tarrat osoittavat, mihin kukin kohde ”menee” ”
Toinen: Vuorovaikutteinen yksikköpiiri . Toinen: Käänteiset käynnistystoiminnot .
Kommentit
- it ’ sa hyödyllinen kaavio. Lisäisin vastuuvapauslausekkeen siitä, että samankaltaisten kolmioiden käsitettä käytetään sekaannusten välttämiseksi.
- Mielestäni kaaviosta olisi enemmän hyötyä, jos se näyttäisi kulman ja mitkä kaikki toiminnot ovat funktiona. . Näyttää siltä, että se ’ on suunniteltu muistamaan, mitä jo tiedät, eikä triggien oppimiseksi tyhjästä.
- @JessicaB: 1., se ei ole minun kaavioni: -). Toiseksi on kerronta, joka kulkee sen mukana; sen ei ole tarkoitus olla yksin. Kolmanneksi minusta on hyödyllistä nähdä esimerkiksi, että $ \ sin \ le \ tan $ ja $ \ sec \ ge \ tan $ ja $ \ tan $ voivat olla rajattomia jne.
- @ JessicaB: PS. Kulma on ympyrän keskellä oleva kulma, joka ympyrä on valitettavasti melkein näkymätön tilannekuvassani.
- @JosephO ’ Rourke Tiedän, ettet ’ t piirrä se. Ja tiedän nyt, että kulma on keskellä, koska tiedän trig. Mutta kun törmäsin siihen ensimmäisen kerran, hämmentyin hyvin, koska en ollut ’ ottanut yhteyttä kulmaan.
Vastaa
Haluan henkilökohtaisesti mieluummin oppikirjasuosituksen, jonka voin ladata tai noutaa, joka [mieluiten] ei ole vanha ja ei älä tee trigonometriasta pelottavaa lähestymistapaa kohtaan (varsinkin sellaisessa, joka korostaa ominaisuuksien / lauseiden takana olevien todisteiden ymmärtämistä).
Minulla ei ole suositeltavia oppikirjoja, mutta voin suosittele lähestymistapaa tekemään trigonometriaa, joka helpottaa sen matemaattista ymmärtämistä kiteyttämällä looginen trigonometrian perusta ja algebrallinen trigonometristen lausekkeiden rakenne. On olemassa trigonometristen lausekkeiden rakenne. kaksi ”tasoa” tähän, riippuen siitä, haluatko mennä suoraan täydentämään ex lukuja tai pysyä todellisen trigonometrian sisällä. Kummassakin tapauksessa keskitytään trigonometrian sisäisen sisäisen ytimen tunnistamiseen ja kaiken muun vähentämiseen.
Todellinen trigonometria
Avaimen määrät ovat $ \ cos (t) $ ja $ \ sin (t) $ , jotka ovat $ x $ ja $ y $ -koordinaatit pisteessä $ P_t $ yksikköympyrässä, joka peittää kaaren, jonka pituus on $ t $ vastapäivään $ x $ -akselista, kuten kuvassa wikipedia :
Tässä kaaren pituus mitataan yksikköympyrää pitkin, ja $ π $ on määritetty puolipyörän kaaren pituudeksi, joten $ 2π $ on 360 dollaria ° $ . (Tätä tapaa mitata kulmia kutsutaan usein niiden mittaamiseksi ” radiaaneina ”, mutta mielestäni se on tarpeeton termi.) Huom että $ P_t = P_ {t + 2πk} $ mille tahansa kokonaisluvulle $ k $ , koska $ 2πk $ olisi kokonaisten kierrosten kokonaislukukerta. Huomaa myös, että $ t $ -arvon lisääminen siirtää $ P_t $ vastapäivään, kun taas $ t $ siirtää $ P_t $ myötäpäivään. Tähän liittyen $ P _ {- t} $ heijastaa $ P_t $ koko $ x $ -akseli.
Huomaa, että $ \ cos (t) $ ja $ \ sin (t) $ vastaavat tarkalleen merkkejä $ x $ ja $ y $ koordinaatit ympyrän pisteessä. (Älä kuuntele ihmisiä, jotka käskevät sinua muistaa jotain, jotta voit selvittää, mikä heistä on positiivinen missä kvadrantissa.)
Ja vain määritelmän mukaan $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ jokaisesta todellisesta $ t $ . Tämä on ensimmäisen avaimen algebrallinen tosiasia .
Seuraava, $ \ tan (t) $ on määritelty nimellä $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historiallisesti olemme määrittäneet myös $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ ja $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ ja $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , mutta rehellisesti sanottuna on vain vähän hyötyä siitä, että niillä on niin monta, kun vain $ \ cos, \ sin $ riittää.) Aina kun haluat yksinkertaistaa mitä tahansa trigonometristä lauseketta, johon liittyy $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , sinun on todennäköisesti suoritettava tavallinen matemaattinen tekniikka uudelleenkirjoittaminen kanoniseen muotoon , mikä tässä tapauksessa tarkoittaa uudelleenkirjoittamista pelkästään $ \ cos, \ sin $ muodossa, kun taas ottamalla huomioon, missä alkuperäistä lauseketta ei ole määritelty (esimerkiksi $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ mille tahansa todelliselle $ t $ vain, kun $ t $ ei ole
muut keskeiset algebralliset tosiasiat syntyy tarkastelemalla vektoreihin sovellettavia kiertomatriiseja. (Jos et tunne matriiseja vektorien operaattoreina, lue ensin tämä . Johdanto euklidisen avaruuden vektoreihin on kohdassa täällä .) Olkoon $ R $ mikä tahansa kiertotaso alkuperän suhteen tasossa. Silloin $ R $ täyttää kolme ominaisuutta:
- $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ kaikilla vektoreilla $ u, v $ (ts. Summaamalla kaksi vektoria ja sitten pyörittämällä tulosta saadaan sama kuin kiertämällä kaksi vektoria ennen niiden yhteenlaskemista).
- Jos $ R, S $ ovat kulmien vastapäivän kiertoja $ t, u $ , sitten $ R∘S $ on kulman kääntäminen vastapäivään $ t + u $ .
- Jos $ R $ on kulman kiertäminen vastapäivään $ t $ , sitten:
a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ mille tahansa todelliselle $ x $ .
b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ mille tahansa todelliselle $ y $ .
Voimme ottaa nämä ominaisuudet kiertymien aksioomina (oletus). Loppujen lopuksi, jos $ R $ ei tyydytä heitä, emme kutsuisi $ R $ kierrosta aloita. Ymmärtääkseen miksi, ominaisuus (1) vangitsee intuition, että kahden yhdistetyn tangon pyörittäminen kiertää molempia sauvoja kiertokulman avulla säilyttäen samalla yhteydenpistopaikan. Ominaisuus (2) tarvitaan vain ominaisuuden (3) yhteydessä. Ominaisuus (3a) seuraa määritelmästä $ \ cos, \ sin $ , ja ominaisuus (3b) seuraa samasta määritelmästä, joka on käännetty $ 90 ° $ vastapäivään.
Ominaisuudet (1) ja (3) tuottavat 2d-kierroksen matriisimuodon:
Jos $ R $ on kulman kiertäminen vastapäivään $ t $ , sitten $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .
Ja sitten käyttämällä ominaisuutta (2) me get:
$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ matriisi {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ matriisi {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ mille tahansa reaalille $ t, u $ .
Kertomalla matriisituote oikealla ja vertaamalla vasemmalla olevaan matriisiin saadaan heti kulma- summatunnukset:
$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ kaikilla reaaleilla $ t, u $ .
$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ mille tahansa todellisuudelle $ t, u $ .
Aina kun haluat yksinkertaistaa lausekkeita, joihin sisältyy trigonometrisiä funktioita summilla kulmien, sinun tulisi harkita näiden identiteettien käyttöä vähentämään lauseketta lausekkeen $ \ cos, \ sin $ mahdollisimman vähän kulmia.
Itse asiassa kaikki trigonometriset i hampaat, joihin liittyy vain aritmeettisia operaatioita ja trigonometrisiä toimintoja, voidaan todistaa käyttämällä vain yllä olevia määritelmiä ja tärkeimpiä algebrallisia tosiasioita. Hieman utelias, jopa symmetriaominaisuudet voidaan todistaa algebrallisesti seuraavasti.
Ottaen huomioon kaikki todelliset $ t $ :
$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ väli>. [kulma-summa]
$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [kulma-summa]
$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $
$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $
$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $
$ = \ cos (-t ) $ .
$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $
$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $
$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $
$ = – \ sin (-t) $ .
Oikean analyysin jälkeen tarvitsemme seuraavia tosiasioita, jotka voidaan nyt pitää aksioomina (ja perustella myöhemmin erikseen):
- $ \ sin ”= \ cos $ .
- $ \ cos ”= – \ sin $ .
Kuten aiemmin, kaikki noin Niitä ei ole pelkkä, joten ei ole mitään tarvetta muistaa mitään muuta (vaikka se voi olla kätevääkin).
Monimutkainen trigonometria
Henkilökohtaisesti, Mielestäni on parasta siirtyä suoraan monimutkaisiin arvoihin perustuviin trigonometrisiin funktioihin, jos halutaan täydellinen ja tiukka perusta -analyysin matemaattiselle kentälle
. Yksi yksinkertaisesti määrittelee: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $
$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ jokaiselle kompleksille $ z $ (jälkeen todistaa summan lähentymisen).
$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .
$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .
$ π $ on kaksi kertaa $ \ cos $ ( todistettuaan, että se on olemassa).
Motivaatio on, että haluamme $ \ exp: \ cc → \ cc $ siten, että $ \ exp ”= \ exp $ ja $ \ exp (0) = 1 $ , jotta voimme ratkaista yleisiä lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, ja haluamme $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ siten, että $ \ cos ”” = – \ cos $ ja $ \ sin ”” = – \ sin $ ja $ ⟨\ cos (0), \ cos ”(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ ja $ ⟨\ sin (0 ), \ sin ”(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , pystyäksesi ratkaisemaan yksinkertaisen harmonisen liikkeen, ja Taylorin laajentuminen tuo meidät yllä oleviin määritelmiin $ \ exp, \ cos, \ sin $ , joiden voimme osoittautua lähentyvän koko monimutkaisella tasolla. Yllä oleva määritelmä $ π $ on helpoin, mistä tiedän, että se ei riipu mistään geometriasta. (Lisätietoja tästä motivaatiosta on tässä viestissä .)
Riittää sanoa, että näillä määritelmillä voimme todistaa perusanalyysillä että $ \ exp, \ cos, \ sin $ täyttävät halutut motivoivat ominaisuudet sekä toisen avainominaisuuden / $ \ exp $ :
$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ mille tahansa kompleksille $ z, w $ .
Tämän ominaisuuden avulla voimme todistaa kaikki trigonometriset identiteetit pelkästään algebrallisen manipuloinnin avulla (ja ne koskevat monimutkaisia muuttujia eivätkä vain todelliset muuttujat).
Esimerkiksi, kun otetaan huomioon mikä tahansa monimutkainen $ z $ :
$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $
$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .
Siitä huolimatta usein on silti helpompaa ensin todista samat algebralliset tosiasiat $ \ cos, \ sin $ ja käytä niitä sitten muiden identiteettien todentamiseen kuin pelkistää kaikki arvoon $ \ exp $ .
Kommentit
- Matemaattisia lisäkyselyjä varten voit lukea tämä chat-huone .
Vastaa
Tee Saylor Academy tai edX Onko sinulla mitään, mikä auttaa sinua? Ne ovat molemmat ilmaisia alustoja matematiikkakursseilla. Saylor Academy käyttää melkein yksinomaan oppikirjaa – voit todella saada luottoa niiden kautta. Modernstates.org voi myös auttaa sinua – heillä on itseopastettu kurssi videoilla sen opettamiseksi. Rootmath voi olla myös hyvä resurssi. Aiotko saada luottoa tälle kurssille Clepin kautta?