Kun otetaan huomioon Van der Waalsin yhtälössä suljettu tilavuus, oletetaan, että molekyylit ovat kovia palloja ja ovat halkaisijaltaan. Jos tarkastellaan kuutiota, jonka tilavuus on V, voimme sanoa, että tämän kuution sivu on pituudeltaan $ V ^ {1/3} $. Harkitse molekyylien halkaisijaksi $ \ sigma $. Oletetaan, että tässä ruudussa olevien molekyylien lukumäärä on $ N $. Jos ankkuroimme $ N-1 $ -molekyylit niiden sijaintiin ja katsomme poissuljettua määrää tilavuuden $ N ^ {th} $ näkökulmasta! molekyylin, näemme, että tämän molekyylin keskusta voi lähestyä kuution seinämiä vain $ \ sigma / 2 $: n etäisyydelle ja voi lähestyä ankkuroituja molekyylejä $ \ sigma $: n etäisyydelle keskuksistaan, kuten on esitetty: 
.
Sitten tämän molekyylin poissuljetun tilavuuden tulisi olla $ V_ {ex} = (V ^ {1/3} – \ sigma) ^ {3} – (N-1) (\ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ {3}) $. Tämä tapahtuu, vaikka ottaisimme huomioon minkä tahansa muun molekyylin ja ankkuroitaisiin loput. wikipedian mukaan laskemme kuitenkin yli. En tiedä miten. Oikean lausekkeen tulisi olla $ V_ {ex} = (V ^ {1/3} – \ sigma) ^ {3} – (N / 2) (\ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ {3}) $. Voisiko joku selittää?
Vastaa
Kuten wikipedia-sivulla $ 4 \ mainitaan \ kertaa \ frac {4 \ pi r ^ 3} {3} $ on poissuljettu tilavuus hiukkasia kohti, joten sinun on laskettava yhteen kaikki hiukkaset ja jaettava hiukkasten lukumäärällä. Yhteenvetona jaat kahdella, koska pari hiukkasia vain kerran osallistuu poissuljettuun tilavuuteen.
Kommentit
- Asia on, etten minä ' Katson, kuinka lasken tai harkitsen hiukkasparin osuutta lähestymistavassani ankkuroida $ N-1 $ -molekyylit ja tarkastella sitten määrää, jossa $ N ^ {th} $ -molekyyli voi liikkua sisään.
- @ColorlessPhoton: Et voi löytää tietyn hiukkasen poissuljettua tilavuutta. Molekyylien likiarvo kovilla palloilla on järkevää vain, kun harkitset kaikkia vuorovaikutuksia. Vain suljettu tilavuus on järkevää koko säiliölle ja sen hiukkasille. Sukeltamalla N: llä et löydä partikkelin poissuljettua tilavuutta, mutta partikkelikohtaista tilavuutta.
Vastaa
Alkaen Hiemenzin ja Rajagopalanin kolloidi- ja pintakemian periaatteet (jos saat virheen kirjan pyydetyn sivun katselemisessa, yritä päivittää):
Todellinen poissuljettu määrä atomia kohti, $ b ”$ ( $ b $ , poissuljettu määrä moolia kohden, on yhtä suuri kuin $ N_A b” $ ja $ N_A $ Avogadron numero) on kuitenkin pienempi kuin $ \ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ 3 $ koska yllä laskettu atomin poissuljettu tilavuus voi olla päällekkäinen muiden atomien kanssa. Siksi, jotta saat lausekkeen $ b $ , meidän on kerrottava yllä oleva arvo $ N $ (koska tilavuudessa on $ N $ atomia), ota puolet siitä, koska muuten olemme " kaksinkertainen laskenta " poissuljetut tilavuudet ja jakamalla $ N $ saadaksesi poissuljetun määrän atomia kohti,
$$ b ”= \ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ 3 \ cdot \ frac {N} {2} \ cdot \ frac {1} {N} = \ frac {2} {3} \ pi \ sigma ^ 3 $$
Syy jakamiseen 2: lla jonkin muun vakion sijasta on edelleen epäselvä, mutta päällekkäisyyden selitys ainakin osoittaa, miksi $ N $ kerrotaan säteen $ \ sigma $ laskettaisiin liikaa.