Sammakon arvoitus – ehdolliset todennäköisyydet

Katsotaanpa sammakoparia. Uros-sammakot tunnistetaan videossa krookilla.

Kuten videossa selitettiin, ennen kuin kuulemme mitään krookia, on 4 yhtä todennäköistä tulosta, kun 2 sammakkoa annetaan:

• Sammakko 1 on uros, Sammakko 2 on uros
• Sammakko 1 on nainen, Sammakko 2 on uros
• Sammakko 1 on uros, Sammakko 2 on Nainen
• Sammakko 1 on nainen, Sammakko 2 on nainen

Oletetaan, että miehet ja naiset esiintyvät tasaisesti ja itsenäisesti, otostilamme on $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, ja meillä on todennäköisyys $ 1/4 $ jokaiselle elementille.

Nyt, kun kuulemme krooksun Tästä parista tullessa tiedämme, että ainakin yksi sammakko on uros. Siksi tapahtuma $ (F, F) $ on mahdoton. Silloin meillä on uusi, pienennetty näytetila , jonka tämä ehto aiheuttaa: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Jokainen jäljellä oleva mahdollisuus on edelleen yhtä todennäköinen ja todennäköinen Kaikkien yhteen laskettujen tapahtumien on oltava $ 1 $. Joten näiden kolmen tapahtuman todennäköisyyden uudessa näytetilassa on oltava $ 1/3 $.

Ainoa tapahtuma, joka loppuu meille huonosti, on $ (M, M) $, joten on $ 2 / 3 $ mahdollisuus selviytyä.

---

Muodollisemmin ehdollisen todennäköisyyden määritelmä sanoo:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ korkki B)} {P (B)} $$ Joten jos $ A $ on tapahtuma, jossa ainakin yksi nainen on läsnä ja $ B $ on tapahtuma, jossa ainakin yksi uros on läsnä, meillä on: \ begin {align} P (\ text {F antaa vähintään 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F ja vähintään 1 uros})} {P (\ text {at vähintään 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M ja 1 F})} {P (\ text {1 M tai 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ loppu {tasaus}

Tämä on oikeastaan sama menettely, jonka perustelimme kuin yllä.

Kommentit

• Hei mb7744, kiitos nopeasta vastauksesta. Ymmärrän vastauksen esitetyksi, mutta tämä näyttää minusta kaksinkertaiselta laskennalta, minkä vuoksi ’ kamppailen hyväksyä vastauksen. (M, F) = (F, M), varmasti, ja jos ei, miksi?
• (M, F) ja (F, M) eivät ole sama tapahtuma. Jos yksi sammakko on nimeltään Alex ja toinen sammakko on nimeltään Taylor, Alex voisi olla nainen ja Taylor uros TAI päinvastoin. Alex ja Taylor olisivat todennäköisesti eri mieltä siitä, että tämä ero on merkityksetön. Nyt voit tarkastella kahta tapahtumaa vastaavina.Kolme lopputulosta (M, M), (F, F) ja (M, F) eivät kuitenkaan ole yhtä todennäköisiä. Yhdistetty pariliitos on kaksi kertaa todennäköisempi. Tämä on sama syy, että heität paljon todennäköisemmin 7 noppaparilla kuin 2, vaikka katsot kaikkia 7: n heittämisen eri tapoja vastaaviksi.
• Hei, luulen tämä auttaa selventämään, mistä i ’ m ’ ei saa ’ arvoitusta. Jos voin sanoa ongelman uudelleen, kun ’ näen sen, korvaa sammakko kolikonheitolla (tai nopparulla). Jos sinun pitäisi kääntää kaksi kolikkoa ja sulkea pois tietyt yhdistelmät, hyväksyisin vastauksen täysin. Arvailun ’ arvoitus kuitenkin luin tämän, koska saamme vain yhden kolikonheiton. Toinen on jo tehty, eikä se voi muuttaa toisen lopputulosta. Jos emme tiedä, mikä kahdesta tuloksesta on jo määritetty, ’ ei salli meidän kääntää kahta kolikkoa ja valita, mitkä tulokset sisällytetään tai suljetaan pois. Joten käyttämällä nopparullan analogiaa …..
• … saat heittää kaksi noppaa, mutta sinulle tuntematon yksi noppu ’ tulos on jo saavutettu päätti. Sinulla on vain 1/6 mahdollisuus tehdä mikä tahansa numero 7-12. Olenko väärässä täällä?
• Jos tarkastelemme kaikkia yhtäläisten todennäköisyyksien pareja noppien heitossa, järjestyksellä on merkitystä . Kuvittele, että toinen kuolla on sininen ja toinen punainen, ja kirjoitamme tulokset sinisellä ja punaisella kuolla viimeisenä. Tällöin lopputulos (1,2) ei ole sama kuin tulos (2,1). Ja kuten aiemmin, ” 1: n ja 2: n vierittämisen todennäköisyys järjestyksestä ” riippumatta on kaksi kertaa suurempi kuin sanotaan , vierittämällä 2-paria. Viimeisen kysymyksesi osalta oletan, että tarkoititte sanoa yhden die ’ -tuloksen päätettiin olla 6 . Siinä tapauksessa olet oikeassa.

Koska matematiikka on jo asetettu, yritän antaa jonkinlaisen intuition. Ongelma on, että tietäen, että ainakin yksi sammakko on uros, eroaa siitä, että tiedämme, että mikä tahansa tietty sammakko on uros. Ensin mainitussa tapauksessa on vähemmän tietoa ja tämä lisää tehokkaasti mahdollisuuttamme jälkimmäiseen tilanteeseen .

Kutsu sammakoita vasemmalle ja oikealle, ja oletetaan, että meille sanotaan, että oikea sammakko on uros. Sitten olemme poistaneet kaksi mahdollista tapahtumaa näytetilasta: tapahtuman, jossa molemmat sammakot ovat naaraspuolisia ja tapahtuma, jossa vasen sammakko on uros ja oikea sammakko on naaras. Todennäköisyys on todellakin puoli eikä sillä ole väliä minkä valitsemme. Sama argumentti on totta, jos saamme tietää, että vasen sammakko on uros.

Mutta jos meille kerrotaan vain, että ainakin yksi sammakko on uros, mitä tapahtuu, kun kuulemme krookan, emme voi eliminoida tapahtuma, jossa vasen sammakko on uros ja oikea sammakko on naaras. Voimme vain eliminoida tapahtuman, jossa molemmat ovat naisia, mikä tekee tapahtumasta, että ainakin yksi on nainen, todennäköisempi kuin edellinen asetus.

Luulen, että syy tähän on hämmentävä, että luulemme luonnollisesti oppivan sen Ainakin yhden uros pitäisi tehdä meistä haluttomia valitsemaan sammakopari. On totta, että näiden tietojen perusteella on vähemmän todennäköistä, että ainakin yksi on nainen, mutta tunnista myös, että ainakin yhdellä naisella oli kolme neljäsosaa mahdollisuus ennen kuin opimme mitään. Se on saamamme tiedon epäselvyys , mikä tekee siitä niin, että meidän on silti pidettävä parempana kahta sammakkoa kuin yksi.

Kommentit

• Kiitos dsaxton, valitsin intuitiivisesti kaksi sammakkoa, mutta päättelyni kertoi, että jompikumpi valinta oli yhtä todennäköinen.
• Kiitos dsaxton, epäilen sen ’ s arvoitus, joka heittää minua. Kuten havaittiin, sammakoita ei voida erottaa (ilman lisätietoja), joten en näe (M, F), (F, M) eroa merkityksellisenä tässä asiayhteys. En ole vakuuttunut siitä, että päättelyni ovat virheelliset, mutta anteeksi, jos olen vain vähän hidas.
• Kiitos vielä kerran dsaxton. Kuten edellä mainitsin, ’ ve löysin henkisen puhelun, jonka minulla oli, ja näen nyt, miksi vastaus on oikea vastaus (ja kysymys, johon yritin todella vastata) .Kiitos vielä kerran avusta, vastauksen näkeminen ei ole vain sama kuin auttaa todella ymmärtämään sitä.

Intuitiosi on tässä tapauksessa oikea. Koska ongelma todetaan, selviytymiskertoimesi on 50%. Video ilmoittaa ongelmatilan väärin meillä olevien tietojen perusteella ja tekee siksi virheellisen johtopäätöksen. Oikea ongelmatila sisältää 8 ehtoa ja on seuraava.

Meillä on kaksi sammakkoa tukissa, ja yksi heistä on kiljunnut, mitä mahdollisuuksia meillä on?(M merkitsee miestä, F tarkoittaa naista ja c tarkoittaa krookittua, ensimmäinen asento vasemmalla, toinen asento oikealla)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Jokainen tapaus perustuu yhtä todennäköisesti tiedot, jotka meillä on, kun eliminoimme olosuhteet, kun tiedetään, että urospuolinen sammakko on krooksutettu. Todemme, että odotettavissa on 4 tulosta. Vasen urospuolinen sammakko kurkisti hiljaisen oikean urospuolisen sammakon vieressä. Oikea urospuolinen sammakko kurkisti hiljaisen vasemman urospuolisen sammakon vieressä. Tai siellä oli kirisevä uros sammakko pariksi yhden naaraspuolisen sammakon kanssa kumpaankin suuntaan. Intuitiivisen tavan ymmärtää tämä on, että kaksi urospuolista sammakkoa kaksois todennäköisemmin kuin yksittäinen urospuolinen sammakko pariksi naaraspuolisen kanssa, joten meidän on painotettava se sopivasti.

Voit myös jakaa hakutilan kutisevalla sammakolla (C) ja ei krookivalla sammakolla (N). Koska krookuva sammakko on 100% mies, voit poistaa sen haustasi, koska sillä ei ole mitään mahdollisuuksia auttaa sinua selviytymään. Kun kirjoittaja aikoi luoda ”monty hall -ongelman”, he loivat vahingossa ”poikien tai tyttöjen paradoksin”.

Seuraavat kysymykset tuottavat erilaisia tuloksia:

Kun otetaan huomioon, että on uros, mikä on todennäköisyys, että toinen on nainen?

Ottaen huomioon, että urospuolinen sammakko kirki mitä onko todennäköisyys, että toinen on nainen?

Tiedän lisätietoja toisessa tapauksessa

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Selkeämpi vastaus tähän, koska edellinen oli liian pitkä eikä sitä ollut helppo ymmärtää.

Mahdolliset tulokset ovat erilaiset, vaikka käytin samoja kirjaimia. Näytetilan tyhjentämiseksi kuvaan mahdolliset tulokset

MM -> ” mies on vasemmalla ”-” Satunnainen uros oikealla ”

MF -> ”Mies on vasemmalla” – ”Satunnainen nainen oikealla”

MM – -> ”Mies on oikealla” – ”Satunnainen uros vasemmalla”

MF -> ”Mies on oikealla” – ”Satunnainen nainen vasemmalla”

Kommentit

• Lasket MM tapauksessa. Voit ’ t vain luetella kaikki mahdolliset skenaariot ottamatta huomioon, oletko ’ saapunut samaan skenaarioon eri polkujen kautta.

Minulla on ongelma tässä ongelmassa, että ratkaisu näyttää käyttävän erilaisia sääntöjä se harkitsee mahdollista tulosta kahdelle sammakolle, jotka ovat uros ja naaras sekä uros ja uros.

F / M-pari ja M / F-pari ovat erilaiset, koska emme tiedä onko ensimmäinen sammakko tai toinen sammakko on uros, joten F / M ja M / F ovat kaksi erillistä mahdollisuutta, vaikka tulos on silti ”yksi naissammakko, yksi urossammakko”.

Mutta M / M paria pidetään vain yhtenä mahdollisena tuloksena, vaikka saman logiikan pitäisi olla voimassa: emme tiedä mikä sammakko on se, joka sai krookan äänen, joten kumpikin sammakko voisi olla se, jonka kuulimme, ja toinen voisi silti olla uros , se ei vain sattuisi kroaamaan.

Commen ts

• Tämä on pikemminkin kommentin luonne kuin vastaus ” arvoitukseen. ” Vaihda se kommentiksi ja poista tämä ” vastaus. ”
• @DJohnson Itse asiassa tämä on vastaus arvoitukseen, vaikka tomcioppin myöhempi vastaus selittää sen selkeämmin.

En tiedä mitään: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Kolme paria, joissa on vähintään yksi naaras neljästä mahdollisesta yhdistelmästä: $ 3/4 $ tai $ 75 \% $

Ensimmäisen tunteminen on uros: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Yksi pari, jossa on vähintään yksi naaras kahdesta mahdollisesta yhdistelmästä: $ 1/2 $ tai $ 50 \% $

Tietäen, että ainakin yksi mies on: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Kaksi paria, joissa on vähintään yksi naaras kolmesta mahdollisesta yhdistelmästä: $ 2/3 $ tai $ 67 \% $

Ennen kuin kuulemme mitään krookumista, on olemassa 4 yhtä todennäköistä tulosta, joista 2 sammakkoa:

Sammakko 1 on uros, sammakko 2 on mies

Sammakko 1 on nainen, Sammakko 2 on uros

Sammakko 1 on mies, Sammakko 2 on nainen

Sammakko 1 on Nainen, Sammakko 2 on Nainen

Oletetaan, että miehet ja naiset esiintyvät tasaisesti ja itsenäisesti, näytetilamme on {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, ja jokaisella elementillä on todennäköisyys 1/4.

Kun kuulemme tästä parista tulevan krookan, tiedämme, että ainakin yksi sammakko on uros. Tämä uros voi olla yhtä todennäköisesti sammakko 1 tai sammakko 2. Sammakolla 1 on 2 yhtä todennäköistä tulosta:

Sammakko 1 on uros

Sammakko 1 on satunnainen sammakko

Oletusten tekeminen yhtäläisesti ja itsenäisesti esiintyvistä miehistä ja naisista satunnainen sammakko on yhtä todennäköisesti satunnainen uros tai satunnainen nainen.

P (Sammakko 1 on Satunnainen uros, kun sammakko 1 on Satunnainen sammakko) = P (Sammakko 1 on Satunnainen nainen, sammakko 1 on Satunnainen Sammakko) = 1/2

P (Sammakko 1 on Satunnainen Uros ja Sammakko 1 on Satunnainen Sammakko) = P (Sammakko 1 on Satunnainen Sammakko) P (Sammakko 1 on satunnainen uros, sammakko 1 on satunnainen sammakko) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Sammakko 1 on Satunnainen nainen ja sammakko 1 on satunnainen sammakko) = P (Sammakko 1 on satunnainen sammakko) P (Sammakko 1 on Satunnainen nainen, sammakko 1 on Satunnainen Sammakko) = (1/2) (1/2) = 1/4

Joten Sammakolla 1 on 3 mahdollista tulosta:

Sammakko 1 on uros

Sammakko 1 on satunnainen uros

Sammakko 1 on satunnainen nainen

ja todennäköisyydet:

P (Sammakko 1 on uros) = 1/2

P (Sammakko 1 on satunnainen uros ) = 1/4

P (Sammakko 1 on satunnainen nainen) = 1/4

Nyt sammakko 1: n jokaiselle mahdolliselle tulokselle on 2 mahdollista tulosta sammakolle 2:

Sammakko 2 on uros

Sammakko 2 on satunnainen sammakko

Jokaisen sammakon 1 mahdollisen tuloksen kohdalla satunnainen sammakko on yhtä todennäköisesti satunnainen uros tai satunnainen nainen.

Joten kutakin sammakko 1: n mahdollista tulosta varten on sammakko 2:

Sammakko 2 on uros

Sammakko 2 on satunnainen uros

Sammakko 2 on satunnainen nainen

P (Sammakko 2 on uros, sammakko 1 on uros) = 0

P (Sammakko 2 on uros, sammakko 1 on satunnainen uros) = 1

P (Sammakko 2 on uros, sammakko 1 on satunnainen nainen) = 1

P (Sammakko 2 on satunnainen uros, sammakko 1 on uros) = 1/2

P (Sammakko 2 on satunnainen uros annettu sammakko 1 on satunnainen uros) = 0

P (Sammakko 2 on satunnainen uros annettu sammakko 1 on satunnainen nainen) = 0

P (Sammakko 2 on satunnainen nainen, sammakko 1 on uros) = 1/2

P (Sammakko 2 on satunnainen nainen, sammakko 1 on satunnainen uros) = 0

P (Sammakko 2 on Satunnainen Nainen annettu Sammakko 1 on Satunnainen Fe uros) = 0

P (Sammakko 2 on satunnainen uros ja Sammakko 1 on uros) = P (Sammakko 1 on uros) P (Sammakko 2 on satunnainen uros, sammakko 1 on uros) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Sammakko 2 on satunnainen nainen ja Sammakko 1 on mies) = P (Sammakko 1 on uros) P ( Sammakko 2 on satunnainen nainen, sammakko 1 on uros) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Sammakko 2 on uros ja Sammakko 1 on satunnainen uros) = P (Sammakko 1 on satunnainen uros) * P (Sammakko 2 on uros, sammakko 1 on Satunnainen uros) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Sammakko 2 on uros ja sammakko 1 on satunnainen nainen) = P (sammakko 1 on satunnainen nainen) * P (sammakko 2 on uros annettu sammakko 1 on satunnainen nainen) = (1/4) * 1 = 1/4

Joten, näytetila on {(Mies, Satunnainen Mies), (Mies, Satunnainen Nainen), (Satunnainen Mies, Mies), (Satunnainen Nainen, Mies)}, ja todennäköisyys on 1/4 jokaiselle elementille.

P (F vähintään 1 M) = P (F ja vähintään 1 uros) / P (vähintään 1 M) = P (1 M ja 1 F) / P (1 M tai 2 M) = P [( Mies, Satunnainen Nainen), (Satunnainen Nainen, Mies)] / P [(Mies, Satunnainen Mies), (Mies, Satunnainen Nainen), (Satunnainen Mies, Mies), (Satunnainen Nainen, Mies)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Kommentit

• Kopioitko ja liittitkö vastauksestani ja poistatko muotoilun?
• Ensinnäkin, kopioimalla ja liittämällä osa jostakin muusta ’ s vastausta edes mainitsematta sitä ei voida hyväksyä. Jos luulet, että olet saavuttanut toisen tuloksen, onko sinulla selkeä tapa selittää se? Olet kirjoittanut paljon katkenneita yhtälöitä ilman mitään selityksiä.
• Se ’ ei ole kirjallisuutta, mutta se on silti töykeä. Nyt, vastauksenne ja minun vastaukseni suhteen: Minusta mielestäsi on järjetöntä. Mitä tulos ” Sammakko on satunnainen sammakko ”?
• Vastauksesi oli ainoa ehdollisten todennäköisyyksien laskeminen. Samojen termien käyttö voisi auttaa vertaamaan ja selvittämään, mikä osa on sama ja mikä erilainen. Voin sanoa, että minäkin pidän muita vastauksia järjettöminä, mutta en sanonut niin, koska se olisi töykeä;). Jos et ymmärrä sth: tä, voit kysyä selvennyksiä. ” Sammakko 2 on satunnainen sammakko ” tarkoittaa, että se ei ole urospuolinen sammakko, jonka tiedetään olevan parissa ….
• Satunnaislähteitä on kaksi, yksi tulee urospuolisesta sammakosta, jonka tiedetään olevan parissa, toinen tulee sammakkopopulaatiosta. Koska tiedämme, että uros sammakko on siellä, epävarmuus koskee vain asemaa. Onko se sammakko 1 vai sammakko 2? Vai onko se vasemmalla vai oikealla? Neuvoni on, käytä puukaaviota rakentaaksesi näytetilaa tyhjästä ja käytä kaikkia käytettävissä olevia tietoja.