QM-spin-operaattori voidaan ilmaista gamma-matriiseina, ja yritän tehdä harjoituksen, jossa todistan identiteetti, joka käyttää dollareita $ \ gamma ^ 5 $ ja $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Ensimmäisellä yritykselläni tein tämän suoraan Dirac-edustuksessa, mutta harjoituksessa sanotaan, että en voi tehdä sitä, voiko kukaan neuvoa? Onko olemassa jotain identiteettiä tai temppua, jonka avulla voin tehdä tämän?
Selvennykseksi, $ \ alpha $ on seuraava matriisi, jossa nollasta poikkeavat elementit ovat Paulin matriiseja:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
minne
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
kommentit
- mikä on nimenomaisesti $ \ alpha $ ja $ {\ bf S} $?
- alfa on matriisi, jonka merkinnät eivät johda diagonaaliin, ovat Paulin matriiseja, mutta et ole varma, miten se auttaa.
- Kuinka luulet meidän auttavan sinua todistamaan henkilöllisyytesi ilman selkeää määritelmää kaikista mukana olevista symboleista?
- @Hollis Voit varmasti sanoa ainakin, mitä $ \ alpha $: n on tarkoitus tarkoittaa. Se ' ei ole standardimerkintä, kuten gamma-matriisit.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ on yhtä vakio kuin $ \ gamma $ -matriisit. Useimmissa tavallisissa fysiikkakirjoissa esitellään $ \ mathbf {\ alpha} $ jo ennen $ \ gamma $ -matriiseja.
Vastaa
Seuraan Wikipedian käytäntöjä seuraavilla määritelmillä: $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ missä $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Tämän sanottuamme huomataan nyt $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ nimenomaisesti, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Sitten, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alfa ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Siten $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$