Suodatusjärjestys peukalon sääntö

Suosikkini " nyrkkisääntö " alipäästöisen FIR-suodattimen järjestyksessä on " fred harris nyrkkisääntö ":

$$ N = \ frac {f_s} {\ Delta f} \ cdot \ frac {\ rm atten_ {dB}} {22} $$

missä

• $ \ Delta f $ on siirtymäkaista, samoissa yksiköissä $ f_s $
• $ f_s $ on suodattimen näytetiheys.
• $ \ rm atten_ {dB} $ on kohteen hylkäys dB: nä

Esimerkiksi, jos sinulla on 100 Hz: n siirtymäkaista 1 kHz: n näytteistetyssä järjestelmässä ja hylkäämisvaatimuksesi on 50 dB pysäytyskaistalla, järjestystä voidaan arvioida seuraavasti:

$$ N = \ frac {1 \ \ rm kHz} {100 \ \ rm Hz} \ cdot \ frac {50} {22} = 23 \ rm napauttaa \ tag {pyöristetään ylöspäin} $$

Kiitos Fred Harris!

Huomaa toinen yksityiskohtaisempi kaava, jossa otetaan huomioon passband ripple on Kaiserin kaava James Kaiserin (Bell Labs) ansiosta, jonka olen sisällyttänyt alla olevaan kuvaani.

Useimmissa tekemissäni sovelluksissa Fred Harrisin lähestymistapa on ollut hieno, koska se on hylätty tietyllä tavalla. , saadut suodattimet, jotka käyttävät perinteisiä suodatinsuunnittelualgoritmeja, kuten Parks-McClellan ja Remez, ovat ylittäneet päästökaistan aaltoiluvaatimukset, kun he täyttävät hylkäysvaatimuksen. (En yleensä tee arvioksi järjestys, suunnitella suodatin tällä järjestyksellä, tarkastaa tulos ja lisätä tai vähentää järjestystä sieltä hienosäätöön) Arvioiden tulokset ovat vain: arvioita, ja ne voivat vaihdella suuresti suunnittelun yleisten parametrien mukaan, eikä niiden voida olettaa olevan tarkka ratkaisu.

Niille, jotka tuntevat suodatinsuunnittelun ikkunan lähestymistapojen avulla, tarkista laatikkorata tai suorakulmainen ikkuna (joka on yksinkertainen katkaisu) paljastaa, miksi se vaatii $ f_s / \ Delta f $ -napautuksia (mikä on sama kuin $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ jos normalisoidun taajuuden yksiköt ovat radiaaneja / näyte, kuten usein tehdään) siirtymäkaistan loppuun saattamiseksi. Katso alla olevat kuvat, jotka auttavat selittämään tätä.

Alla olevassa yläkuvassa näkyy odotettavissa oleva Sinc-taajuus suorakaiteen muotoiselle ikkunalle ajassa, tässä tapauksessa ei-kausaalisena suorakaiteen muotoisena pulssina, jonka keskipiste on $ t = 0 $ . Tämä toistetaan sitten erillisissä muodoissa kausaalisena aaltomuotona, joka alkaa kohdasta $ t = 0 $ , sekä diskreetin aika-Fourier-muunnoksen (DTFT) että diskreetin Fourier-muunnoksen (DFT) kanssa. jossa ero on näytteiden ajoissa, ulottuu DTFT: n $ \ pm \ infty $ -arvoon, mikä johtaa jatkuvaan aaltomuotoon taajuusalueella. Molemmissa tapauksissa tulos on aliaksinen Sinc-funktio, joka on jaksoittainen aikavälillä $ f = [0, f_s) $ , ja avainkohta $ N $ näytteitä suorakulmaisen funktion ajoissa, taajuusvasteen ensimmäinen nolla on $ f = 1 / N $ (Missä $ f $ on normalisoitu taajuus, jossa 1 on näytteenottotaajuus).

Tämä seuraava alla oleva kuva näyttää suorakulmaisen ikkunan lähestymistavan suodattimen suunnitteluun (jota en koskaan suosittelisi, mutta on informatiivinen). Vasemman yläkulman ensimmäinen kaavio näyttää suodattimemme tavoitetaajuusvasteen ihanteellisena " tiiliseinä ". Älä sekoita sitä " -autoikkunaan " (tai " suorakulmaiseen ikkunaan "), joka on myös suorakulmainen muoto – ikkuna on aikatasossa!

Tällaisen suodattimen toteuttamiseksi käytämme halutun taajuusvasteen impulssivastetta kertoimina FIR-suodattimessamme (suodattimen kertoimet ovat impulssivaste — laitamme impulssin ja ulos tulevat kaikki kertoimet!). Suorakulmaisen taajuuden (tiiliseinä) vasteen impulssivaste on käänteinen FT, joka on Sinc-funktio aikatasossa, joka näkyy vasemmassa alakulmassa " Vaadittu impulssivaste ". Sinc-toiminto ulottuu plus- ja miinus-äärettömyyteen, joten sellaisen suodattimen toteuttamiseksi tarvitsemme äärettömän pitkän suodattimen ja sillä olisi äärettömän pitkä viive. Ilmeisesti emme voi tehdä niin, joten lyhennämme kertoimet jollekin toteutettavalle. Mitä pidempi suodatin, sitä lähempänä arvioimme ihanteellista tiiliseinän vastetta, mutta myös pidempi viive on (ja mitä enemmän resursseja tarvitsemme suodattimen rakenne; lisää napautuksia).

Impulssivasteen lyhentäminen aikatasossa on matemaattisesti identtinen kertomalla suorakulmainen ikkuna aika-alueella. (Huomaa, että impulssivaste viivästyy myös puolella kestosta jotta järjestelmä olisi kausaalinen). Kertominen aikatasossa vastaa taajuusalueen konvoluutiota. Katkaisua edeltävän impulssivasteen taajuusalue (FT) on alkuperäinen haluttu tiiliseinän taajuusvaste. suorakulmaisen ikkunan vastaus on Sinc-funktio taajuusalueella.

Joten kun katkaisemme halutun impulssivasteen (kerrotaan ajassa suorakulmaisella ikkunalla), sekoitetaan haluttu taajuusvaste e Sinc-funktiolla, mikä johtaa likimääräiseen tavoitetaajuusvasteeseemme alla olevan kuvan oikeassa yläkulmassa olevan kuvan mukaisesti.

Sinc-funktioiden avainkoko on yleensä ensimmäinen on $ 1 / T $ missä $ T $ on suorakulmaisen funktion kesto. Otantajärjestelmässä ensimmäinen nolla olisi kohdassa $ 2 \ pi / N $ , jossa $ N $ edustaa näytteiden lukumäärä suorakulmaisen toiminnon ajan. Kuvissa taajuusaksiaaliin käytetään normalisoitua radiaanitaajuutta (jos tämä hämmentää, tiedät vain, että $ 2 \ pi $ on näytteenottotaajuuden radiaanitaajuus). Joten kääntymisprosessin aikana tiukka tiiliseinämuutos leviää ja tässä tapauksessa menee arvoon 0 ( $ \ Delta \ omega $ ) taajuudella $ 2 \ pi / N $ ! Joten tässä $$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$ ja tietysti suodatin on heikko sivulohkoilla jne. Huomaa tämä: Tämä siirtyminen Sinc-funktiosta on terävin käytettävissä tietylle hanamäärälle; sillä on paras taajuusresoluutio, mutta heikoin dynaaminen alue (hylkääminen). Muut ikkunatyypit (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (suosikkini) jne.) Parantavat merkittävästi dynaamista aluetta, mutta aina siirtymän kustannuksella.

Joten yllä olevasta nähdään alkuperä $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , jota käytetään approksimaatiokaavoissa, ja näemme myös, miksi on olemassa ylimääräinen kerroin, joka lisää tyypillisten suodatinmallien yläpuolella olevien napautusten määrää; suorakaiteen muotoinen ikkuna antaisi meille parhaan mahdollisen siirtymävaiheen $ N $ -napautuksilla, joissa $ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , mutta he hylkäävät heikosti. Lisää napautuksia käytetään tasoittamaan aikasiirtymä suorakulmaisen ikkunan terävän siirtymän yli, mikä antaa suuremman hylkäämisen siirtymän kaistanleveyden kustannuksella.

Kommentit

• Vain sekaannusten välttämiseksi kaava, jota kutsut " Kaiser ' s -kaava " on itse asiassa kaava Parks McClellanin optimaalisille suodattimille (todellakin Kaiser löysi), mutta ei Kaiser-ikkunamenetelmälle. Jälkimmäisellä ei ole ' t kahta erilaista $ \ delta $ -arvoa, mutta vain yksi.
• Todellakin, hyvä selvennys, koska on olemassa Kaiser-ikkuna-menetelmä. Tätä kaavaa kutsutaan kuitenkin nimellä " Kaiser ' s kaava " kirjallisuutta, joten lukijat eivät mielestäni ajattele minun käyttäneen tätä termiä. engold.ui.ac.ir/~sabahi/Advanced%20digital%20communication/…
• Mahtavaa!Näyttää siltä, että se tuli Fred Harris ' -kirjan sivulta 48: " Monisuuntainen signaalinkäsittely viestintäjärjestelmille "?
• Nyrkkisääntö vai kuvat? Kuvat ovat minun luokkaa, jota teen. Minulla ei ' ole fred ' -kirjaa, mutta olen suuri fani ja tutustuin hänen " nyrkkisääntö " DSP World -esityksessä, jonka hän teki jo vuonna 1996. (Huomaa, että hän vaatii, että hänen nimensä kirjoitetaan pienillä kirjaimilla.
• @DanBoschen Onko Parks McClellanin kaava voimassa myös suunniteltaessa kaistanpäästön FIR-suodattimia? Jos ei, onko muuta " nyrkkisääntöä ", jota voitaisiin soveltaa?

FIR-suodattimen pituus tai IIR-suodattimen järjestys on erittäin karkeasti kääntäen verrannollinen siirtymäkaistan leveyden suhteeseen (kapein , jos monia) näytteenottotaajuuteen, muut asiat ovat jonkin verran vastaavia, lukuun ottamatta hyvin lyhyitä tai hyvin matalatasoisia suodattimia.

Kommentit

• en tiedä miksi joku äänesti. Korjasin sen takaisin nollaan.
• muut asiat ovat jonkin verran samanarvoisia?
• Päätason aaltoilu ja pysäytyskaistan vaimennus ovat myös muita tärkeimpiä tekijöitä, jotka vaikuttavat suodattimen pituuteen.