Yksiköt painovoimavakiossa

No, tapa vakion yksiköiden löytämiseksi on otettava huomioon yhtälö, johon se osallistuu:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ on voima: joten se mitataan newtoneina ($ \ operaattorin nimi {N} $). Newton on voima, joka tarvitaan antamaan kilogrammalle kiihtyvyys metriä sekunnissa sekunnissa: SI-yksiköissä sen yksiköt ovat siis $ \ operaattorin nimi {kg} \ operaattorin nimi {m} / \ operaattorin nimi {s} ^ 2 $. $ m_1 $ ja $ m_2 $ ovat massoja: SI-yksiköissä ne mitataan kilogrammoina, $ \ operaattorin nimi {kg} $ ja $ r $ on pituus: se mitataan metreinä, $ \ operaattorin nimi {m} $.

Joten voimme jälleen kirjoittaa SI-yksiköissä edellä mainitun kaltaiseksi

$$ \ phi \ operaattorin nimi {N} = \ phi \ operaattorin nimi {kg} \ operaattorin nimi {m} / \ operaattorin nimi {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operaattorin nimi {kg} ^ 2} {\ operaattorin nimi {m} ^ 2} $$

missä $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ ja $ \ rho $ ovat puhtaita lukuja (ne ovat eri määrien numeeriset arvot SI-yksikköinä). Joten meidän on haettava tämän mitat järkeväksi, ja vain tekemällä tämän käy heti ilmi, että

$$ G = \ gamma \ frac {\ operaattorin nimi {m} ^ 3} {\ operaattorin nimi {kg} \ operaattorin nimi {s} ^ 2} $$

jossa $ \ gamma $ on puhdas luku ja se on $ G $: n numeerinen arvo SI-yksiköissä.

Vaihtoehtoisesti, jos laitamme newtoneja takaisin LHS: ään saamme

$$ G = \ gamma \ frac {\ operaattorin nimi {N} \ operaattorin nimi {m} ^ 2} {\ operaattorin nimi {kg ^ 2}} $$

Vastaamiseksi tähän on tarkasteltava yhtälöä $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Joten jos G mitataan yksiköissä $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, ja massa mitataan kg: na ja etäisyys mitataan metreinä, niin voima mitataan arvolla $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, joka yksinkertaistuu arvoon $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Ja nyt määritelläksesi $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $, vaistosi saattavat jaa se osiin $ \ rm m / s ^ 2 $ ja kg. Jos $ \ rm m / s ^ 2 $ on kiihtyvyysyksikkö ja kg on massayksikkö, voiman on oltava massa kertaa kiihtyvyys. Tätä kuvaa Sir Issac Newton PRS ”toinen liikelaki kuvaa:

$ F = ma $

Joten on järkevää, että painovoima vakio G mitataan muodossa $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Kommentit

• Etkö ole varma, että ” PRS ” tarvitaan kuvaamaan Newtonia

Se on a ongelma.

Vakiot viittaavat puhtaisiin numeroihin, niin todella hauskaa, että vakion pitäisi olla mittayksiköitä.

Se on sopiva ongelma. Löydät tai arvaat, että jokin riippuu jostakin muusta, suhteellisesti kuten silloin, kun x siirtyy arvosta 3 arvoon 4, y arvosta 6 arvoon 8, (siis y = 2 * x missä 2 on vakio) tai kääntäen verrannollinen (y = x / 2), joten kun olet vakuuttunut siitä, että löysit kaiken, mikä voi vaikuttaa siihen, mihin sinulla on melkein yhtälösi, kuten y = a x ^ 2 + bx + c yksinkertainen toisen asteen yksikkö ulottuvuudessa tai jotain w = x y.

Viimeinen vaihe on lisätä vakioita niin, että luvut ja tulokset vastaavat toisiaan.

Jos mittayksikkösi mukaan yksiköt eivät täsmää, sinulla on ongelma. Uhraat tämän vuoksi, jos vakiosi pitää paikkansa, vaikka sillä on yksiköitä, mutta ehkä tiedä, että yhtälössä on enemmän kuin tämä yksinkertaistaminen tai tietysti, että alkuperäisellä ajatuksellasi mittayksiköillä on virhe. määritä uudelleen ensimmäiset periaatteesi, eli nopeus ei ole metriä / sekuntia, joten jätä se toistaiseksi pois.

Tässä muodossa oleva gravitaatioyhtälö on myös hyvin samanlainen kuin Coulombsin laki, itse asiassa liian samanlainen, molemmat ovat enimmäkseen oppaita sanoa, että voima on verrannollinen esineiden massaan ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön (painovoiman tapauksessa)

Saat siistit neliöt painovoimalla eli (kg / m) 2, joten jos koko asia on neliö, saatat miettiä, mikä kg / m on.

Esimerkiksi: Ruudut ilmestyvät, kun olet addi ng tavaraa integraation avulla, integroi toisen hienon matemaattisen käsitteen, joka on kuitenkin ainakin graafisesti approksimaatio.

Joten sanomme, että jos y = x ^ 2, niin dy / dx = 2x ja integraatio on erilaistumisen käänteinen , käyttäen merkintää ”Integral of x” merkkinä I (x), sitten I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (lisäämme integroidun vakion aina puuttuvaan osaan.

Joten ehkä (painovoima) voima on f = I (jotain) niin, että se päätyy neliöön.

Voima on hauska eläin. Sinulla on sellaisia asioita kuin impulsseja, kuten energiaa, työtä ja voimaa, kaikki fysiikan käsitteet, yhdistettyinä. Esimerkiksi iirc work = teho * aika, mutta se puhuu vain järjellä, joten pysähdyin tässä.

Lisätty:

Aloita ajatella kg / m ja mitä se on, yksi mieleen tullut asia: nämä kaksi ovat yhteydessä toisiinsa, kun joku kulkee matkan, miten etäisyys riippuu massalla? No, varmasti, kun sinulla on kitkaa, massalla on merkitystä. Voit ajatella myös tiheyttä, joka on massa / tilavuus.

Joten F ~ tilavuus ^ 2 ja ehkä F = tilavuus jotain, mikä palauttaa sen arvoon kg m / s ^ 2. jotain, joka havaittavassa paikallisessa paikassa on vakaa, vakio. Huomaa, jos F = I (x) ja siinä on m / s ^ 2, nopeuden ja kiihtyvyyden (s = v t + a t / 2) välillä on integraali suhde, jossa s on etäisyys, v on nopeus, a on kiihtyvyys ja t-aika. Muista, että integraatio on myös subjektiivista, integroit jotain yli, joten jos w = x y ja sekä x että y ovat muuttujia, voit integroida w yli x ja voit integroida w y: n yli. Nämä ovat / (voivat olla) lisäaineita edellyttäen, että ne ovat riippumattomia, jos y = f (x), voit siirtyä yksittäiseen muuttujaan w = x f (x) => w = g (x)

Koska tällä kysymyksellä oli 46K (!) näyttökertaa, voi olla hyödyllistä lisätä vastaus jopa 4 vuoden kuluttua.

$ G $ on kokeellinen vakio, jota tarvitaan Newtonin potentiaalienergian sovittamiseen kokeiluun. Newtonin potentiaalienergia on $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ jakamalla energialla $ mc ^ 2 $ saat dimensioton potentiaalin $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Koska $ V $ on dimensioton $ GM / c ^ 2 $ on pituus. Tämä pituus tulkitaan puoliksi mustan aukon, jonka massa on M, $ r_M / 2 $ säde. G: llä on ulottuvuus $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Voit siis kirjoittaa dimensioton potentiaalin myös nimellä $$ V = r_M / 2r $$ , jossa ainoa vakio on pituus, jolla on selkeä, vaikkakin eksoottinen tulkinta.

Suora tulkinta – sellainen, joka ylittää relativistisen ja ei-relativistisen fysiikan paradigmanjaon ja on kytketty Raychaudhurin yhtälöön, on se tilavuuden supistumisen suhteen.

Pilvellä, joka ympäröi massaa $ M $ , jonka ainesosat ovat kaikki radiaalisessa liikkeessä, on tilavuus, joka ajan $ V (t) $ funktiona täyttää yhtälön $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ vasen (\ frac {dV} {dt} \ oikea) ^ 2 = -4πGM. $$ Jos se on aluksi paikallaan, niin äänenvoimakkuuden alkuperäinen kiihtyvyys on painovoima on $ – 4πGM $ , negatiivinen osoittaa, että se alkaa supistua.

Joten $ GM $ : n yksiköt ovat kuutiometriä sekunnissa, sekunnissa.

Tämän yleistäminen $ n + 1 $ -ulotteinen aika-aika on $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ vasen (\ frac {dV} {dt} \ oikea) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ käyttämällä käytäntöä $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , jossa $ G_n $ on $ n $ – Newton-kertoimen mittaversio; jonka yksiköt olisivat metriⁿ / (toinen² kilogramma).