Yksinkertainen kuvaus vaihto-vuorovaikutuksesta?

Vaihto-vuorovaikutus on lisäys muihin identtisten hiukkasten välisiin vuorovaikutuksiin, jotka permutointisymmetria aiheuttaa.

Tämä lisäys on seurausta monihiukkasten erityisestä muodosta. aaltotoiminto. Se ei anna mitään vaikutusta Hamiltonin tapaan, toisin kuin ”tavalliset” vuorovaikutukset, mutta se esiintyy lisäterminä yhtälöissä yksittäisten hiukkasten aaltofunktioiden (esim. Hartree-Fock-yhtälö) kanssa. energian ja voimien avulla. Voimme löytää vaihtokorjauksen Coulomb-voimiin lisätyksi voimaksi, mutta meidän on ensin ymmärrettävä, mikä on voima kvanttijärjestelmässä.

Tarkastellaan kahta fermionia, joissa on yhden hiukkasen koordinaatti-aaltofunktiot $ \ psi_a ( x) $ ja $ \ psi_b (x) $ ja pyörivät aaltofuctiot $ \ phi_a (s) $ ja $ \ phi_b (s) $. Mahdolliset kahden hiukkasen aaltofuktiot ovat singlettejä, joissa on symmetrinen koordinaattiosa $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vasen [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ oikea] $$ ja tripletti antisymmetrisellä koordinaatilla osa $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vasen [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ oikea] $$

Älkää antako kahden hiukkasen Hamiltonin riippua kierroksista: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {{mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$, vuorovaikutuksen keskimääräinen energia on: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ vasen | \ Psi_S \ oikea > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ oikea | V \ vasen | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ oikea > + \ vasen < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ oikea | V \ vasen | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ oikea > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ vasen < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ oikea | V \ vasen | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$

Termi $ U_ \ text {ex} $ ei ole nolla vain, jos hiukkaset ovat riittävän lähellä toisiaan ja niiden aaltofunktiot ovat päällekkäisiä (katso alla oleva kuva). Klassisessa rajoituksessa, kun etäisyys $ L $ on suuri, päällekkäisyys on nolla ja $ U_S = U_A = U $

letetaan, että $ \ psi_a $ ja $ \ psi_b $ eivät ole negatiivisia kaikkialla, missä $ V $ toimii Coulomb-vuorovaikutuksena (eli positiivisena ja pienenee etäisyyden kasvaessa). Sitten $ U $ ja $ U_ \ text { ex} $ ovat positiivisia ja symmetrisen koordinaattitilan energia (vastakkaiset piikit) on suurempi kuin antisymmetrisen koordinaattitilan energia (samanlaiset piikit). Jos hiukkasten keskimääräiset sijainnit ovat kiinteät, vaihdon vuorovaikutus asettaa pyörii samaan suuntaan.

Hiukkasten välinen vuorovaikutusvoima voidaan määritellä parametria L vastaavana yleistettynä voimana: $$ F = – \ frac {\ partituali U} {\ osittainen L} $$ Oletuksissamme $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ ja $ V $ sekä $ U $: n että $ U_ \ text {ex} $: n johdannainen ovat negatiivisia. Siksi ”tavallinen” voima on positiivinen (hylkääminen) ja vaihtovoima on positiivinen symmetrisille koordinaateille s tate ja negatiivinen epäsymmetriselle koordinaattitilalle (vetovoima).

Joten kahden vuorovaikutus kahden tapauksen tapauksessa hiukkasia voidaan pitää lisävoimana spin-kokoonpanosta riippuen. Monille hiukkasille tämä on monimutkaisempaa.

Kommentit

• Hei, kuinka ymmärtää Fermionin vaihtovaikutuksen tehokas voima on houkutteleva? Hyvin vasta-intuitiivinen.