Yksinkertaisesti sanottuna: mitkä ovat homoteettisten ja ei-homoteettisten kuluttajien mieltymysten seuraukset?

Matemaattisesta näkökulmasta, jos funktio $ f (x, y) $ on homogeeninen ( minkä tahansa asteen), ja $ g ( ) $ on funktio, jonka ensimmäinen derivaatti on kaikkialla nollasta poikkeava, sitten funktio

$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$

on homoteettinen. Taloustieteessä asetamme yleensä jotain rajoittavampaa, nimittäin että $ g ”> 0 $. Mutta tämä tekee homoteettisesta toiminnosta homogeenisen toiminnan monotonisen muutoksen. Nyt homogeeniset toiminnot ovat tiukka homoteettisten toimintojen osajoukko: kaikki homoteettiset toiminnot eivät ole homogeenisia.

Siksi kaikki yksitoikkoiset muunnokset eivät säilytä apuohjelmatoiminnon homogeenisuusominaisuutta . Yksinkertaisin esimerkki on Cobb-Douglas -apuohjelma. Se on yhden asteen homogeeninen. Tavallisessa hyödyllisyyskehyksessä monotoniset muunnokset ovat kunnossa, joten voimme ottaa huomioon sen luonnollisen logaritmin. Hieno, mutta luonnollinen logaritmi ei säilytä homogeenisuutta. Siitä huolimatta se on homoteettinen.

Homoteettisen funktion perusominaisuus on, että sen laajenemispolku on lineaarinen (tämä on myös homogeenisten toimintojen ominaisuus, ja onneksi se osoittautuu homoteettisten toimintojen yleisemmän luokan ominaisuudeksi).

Kulutusteoriassa tämä tarkoittaa, että pitämällä hinnat tai hintasuhde vakiona, jos vaihdamme kuluttajan tuloja, $ (x, y) $ -tasossa tulorajoituksen tangenttipiste korkein mahdollinen välinpitämättömyyskäyrä heijastaa aina kiinteää suhdetta $ x / y $. Tämä puolestaan tarkoittaa, että kunkin tavaran menot kasvavat kaikki samalla nopeudella kuin tulot, joten meno-osuudet pysyvät vakioina koko tuloalueella (aina tietyllä hintasuhteella). Vaikka tämä saattaa kuulostaa rajoittavalta, on itse asiassa osoitettu, että homoteettiset mieltymykset eivät aseta erityisiä rajoituksia aggregaatti kysyntä (lähinnä siksi, että lahjoitusvektori on mielivaltainen ja riippumaton asetuksista, mikä sekoittaa tai vapauttaa asioita).

Kommentit

• Hyvä vastaus. Voisitko laajentaa viimeistä virkettäsi, jossa mainitset, että homoteettiset mieltymykset eivät aseta mitään erityistä rajoitusta AD: lle. Koska aiheesta on vähän tietoa, näyttää siltä, että homoteettisten mieltymysten olettaminen on ristiriidassa Engel ' -lain empiiristen todisteiden kanssa tai että kysynnän tulojen joustavuus vaihtelee tavaroittain. Hylkäämättä nämä todisteet emmekö ' t vaikuttaisi mihinkään kohtuulliseen AD-rakenteeseen?
• @StatsScared Thanks. Olet lähettänyt asiasta kysymyksen, Economics.stackexchange.com/q/10629/61 , joka on jo tuottanut mielenkiintoisia vastauksia. Jos minulla on jotain lisättävää, lähetän sen sinne.