Mikä on aaltoyhtälön yleisin muoto? Onko se $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ ositettu t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Voiko esimerkiksi $ \ frac {\ osittainen ^ 2 \ Psi} {\ osittainen t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ olla aaltoyhtälö? Jos kyllä, mikä on ratkaisu siinä tapauksessa.
Vastaa
En ole varma mitä tarkoitat sanalla $ cte $ , mutta oletan sen olevan vakio, mutta voin tulkita väärin.
Puhumme usein kahdesta differentiaaliyhtälöluokasta, homogeenisesta ja epähomogeenisesta. Tämä ero on kysymyksesi perusta, \ begin {yhtälö } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {yhtälö} on aaltoyhtälön homogeeninen muoto, kun taas \ begin {yhtälö} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {yhtälö} on epähomogeeninen aaltoyhtälö ($ u (\ vec {r}, t) $ voi myös olla vakio, jos haluamme). Tämä syntyy Yksi esimerkki on, että sähkömagneettista säteilyä varausten ja virtojen läsnä ollessa säätelee epähomogeeninen aaltoyhtälö, homogeeninen muoto on voimassa vain, kun $ \ rho = 0 $ ja $ \ vec {J} = 0 $. Luulen, että useimmat ihmiset sanovat inhomin sen mukaan, keneltä kysyt ogeeninen aaltoyhtälö on aaltoyhtälö, mutta se on maun mukaista, koska sen ratkaisuilla voi olla hyvin erilainen luonne kuin homogeenisilla.
Yleensä ei ole paljon sanottavaa näistä ratkaisuista, koska ne ”riippuvat suuresti $ u $: n muodosta, vaikka olen varma, että joku googling tarjoaa sinulle paljon esimerkkejä.
Kommentit
- Täydellinen. Entä vaimennetun aallon yhtälö? Mikä on sen muoto?
vastaus
Mason käsitteli eroa epähomogeenisten ja homogeenisten differentiaaliyhtälöiden välillä, mutta jos yksi puhuu aaltoyhtälön yleisimmästä mahdollisesta muodosta, se on
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
missä molemmat kentät ovat $ (m, n) $ -tensoreita, joihin Laplace-Beltrami-operaattori $ \ square = vaikuttaa \ nabla ^ a \ nabla_a $, joiden toiminta tensoreihin riippuu sekä mittarista että heidän sijoituksestaan. Jos skalaarikenttä on metrinen $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, se pienenee aaltoyhtälön tunnetuimpaan muotoon, $ (\ osal ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Edellä mainitut voidaan myös muotoilla uudelleen erilaisten muotojen kielellä.)
Tämä ei kuitenkaan tavallaan kata kaikkia mahdollisuuksia. Esimerkiksi yleisen suhteellisuusteorian suhteen kaarevuuden ensimmäisen asteen muutos muuttujan $ h_ {ab} $ häiriössä on
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ neliö h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
joka ymmärretään kirjallisuudessa kaarevaksi avaruuden ”aaltooperaattoriksi”, koska se varmasti myöntää aaltoratkaisut, mutta ei selvästikään vastaa yllä olevaa aaltoyhtälöä, koska se sisältää muut termit, joihin liittyy kaarevuussensoreita. Täten aaltoyhtälön ”yleisimpiä muotoja” ei ole sellainen, mitä voimme todella kirjoittaa ylös, ellei ajatuksesi siitä ole tiukasti $ (\ osal ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
