Accélération gravitationnelle sur la Lune et Mars

Let  » s voir comment l accélération due à la gravité est obtenue pour nimporte quelle planète, et ensuite nous pouvons l appliquer à la Terre ou à la Lune ou à tout ce que nous voulons. la force gravitationnelle entre les objets de masses $ m_1 $ et $ m_2 $ est donnée par \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} où $ r $ est la distance entre leurs centres de masse. Maintenant, supposons que lobjet 1 soit une planète de masse $ m_1 = M $ et de rayon $ R $, et que lobjet 2 soit un objet beaucoup plus petit de masse $ m_2 = m $ situé à une hauteur $ h $ au-dessus de la surface de la planète cest petit par rapport au rayon de la planète. La magnitude de la force gravitationnelle entre les deux objets sera \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} dautre part, la deuxième loi de Newton dit nous que laccélération de lobjet 2 satisfera \ begin {align} F = ma \ end {align} La combinaison de ces faits, à savoir la mise à égalité des côtés droits, fait que la masse $ m $ disparaîtra des équations, et laccélération en raison de la gravité de lobjet de masse $ m $ devient \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} où dans la deuxième égalité, jai effectué un développement de Taylor de la réponse en termes de petit nombre $ h / R $. Notez que mettre à zéro lordre, à savoir la contribution dominante lorsque lobjet 2 est proche de la surface de la planète, est une constante indépendante de la hauteur et ne dépend que de la masse et du rayon de la planète; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Cest précisément ce que nous appelons habituellement laccélération due à la gravité près du surface dune planète. Si vous branchez les nombres pour Earth, vous obtiendrez \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ approx 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} et I  » Je vous laisse le soin de déterminer le nombre pour les autres planètes. La propriété importante de cette accélération due à la gravité est quelle évolue linéairement avec la masse $ M $ de la planète, et elle évolue comme la seconde puissance négative du rayon du planet.

Commentaires

• Je pense quil est également utile de mentionner les effets de la force centrifuge, dus à la vitesse angulaire dun corps céleste. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Un autre effet de ceci est que le corps lui-même se bombe autour de léquateur, augmentant le rayon de la surface près de léquateur (abaissant près des pôles).

La constante daccélération gravitationnelle définie comme $ g $ pour la Terre dépend de la masse de la Terre et de sa distance. La formule est $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Voir Newtons L aw of Universal Gravitation pour plus de détails). Donc $ g $ nest pas une constante même sur terre mais dépend de votre altitude, quoique assez lentement. Si vous êtes sur la lune, la masse de la lune $ (~ 10 ^ {22} kg) $ est inférieure à celle de la terre $ (~ 10 ^ {24} kg) $ et donc la force gravitationnelle que vous ressentiriez, $ mg $ serait beaucoup moins en raison du fait que $ g $ est plus petit, environ 1,62 $ m / s ^ 2 $.

De plus, les unités de $ g $ sont $ m / s ^ 2 $ et non $ N / s ^ 2 $

Une façon simple dy penser est de considérer que laccélération de la gravité, à la surface, par exemple, dun corps planétaire, dépend essentiellement de deux grandeurs: la masse du corps et le rayon .

Laccélération de surface augmente avec la masse du corps (si vous doublez la masse, vous doublez laccélération) et diminue avec le carré du rayon (si vous doublez le rayon, laccélération est divisée en quatre).

Ainsi, par exemple, le rayon de la Lune est denviron 0,273 fois le rayon de la Terre, mais la masse de la Lune est denviron 0,0123 la masse de la Terre. Donc, nous nous attendrions à ce que laccélération à la surface de la Lune soit

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

et, bien sûr, la gravité de la surface de la Lune est denviron 1,62 $ \ frac {m} {s ^ 2} $

Donc, si vous connaissez la masse et le rayon de, disons, Mars, vous pouvez déterminer la gravité de la surface de Mars comme suit:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $