On ma posé un problème pour les devoirs où nous devions calculer le temps nécessaire à la chute dun objet pour atteindre une certaine vitesse en tenant compte de la force de traînée. Je lai fait en paramétrant laccélération en fonction de la vitesse et en intégrant (cétait une équation différentielle).
Cependant, il s’agit d’un cours d’introduction à la physique, sans aucune connaissance du calcul. Nous n’avons même pas encore fait de dérivées, à proprement parler. J’ai eu la chance d’avoir suivi le calcul auparavant, alors j’ai été capable de reconnaître et de résoudre léquation différentielle.
Quand jai demandé à mes camarades de classe comment ils lavaient fait, ils ont dit quils avaient joué avec les chiffres jusquà ce quils obtiennent quelque chose qui fonctionnait (cétait en ligne sans déduction de points pour les mauvaises réponses Pour la plupart dentre eux, ils ont juste divisé la vitesse terminale par laccélération due à la gravité, ce qui na aucun sens, puisque nous navons même pas demandé le temps nécessaire pour atteindre la vitesse terminale, mais 63% de celui-ci. Cette méthode vient darrondir au même nombre que la bonne.
Ma question est la suivante: y a-t-il un moyen de trouver cette valeur en utilisant la physique élémentaire, ou mon professeur nous a-t-il posé un problème injuste? Les assistants techniques ne mont pas aidé et jai cours pendant ses heures de bureau.
La question elle-même est la suivante:
Le la vitesse terminale dune goutte de pluie 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg est denviron 9 m / s. En supposant une force de traînée $ F_D = −bv $, déterminez le temps nécessaire à une telle chute, en partant du repos, pour atteindre 63 % de la vitesse terminale.
Commentaires
- Puisque la réponse implique un sens exponentiel / logarithme ou une autre, il faudrait développer une sorte de solution impliquant un exponentiel / logarithme. Choisissez votre poison … Jai le sentiment que ' va être une approximation du calcul.
- Je pense qu’une solution impliquant des logarithmes serait un jeu équitable. On sattend à ce que nous ' le savoir. Le problème est que je peux ' Pour toute ma vie, je pense à tout moyen de le faire qui nimplique ' quune équation différentielle. Peut-être que i t ' car je ' jai lhabitude de faire des problèmes de cette façon après avoir pris le calcul. Si quelquun pouvait trouver une autre méthode, ce serait grandement apprécié.
- Il ' est peut-être lié que 63% est $ 1 – e ^ {- 1} $
Réponse
Si la force de traînée est modélisée comme une fonction linéaire de la vitesse $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, alors le problème est simple . Léquilibre des forces verticales pour une goutte tombante est $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ ce qui donne léquation différentielle suivante pour la vitesse: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ Dans le cas limite de la vitesse maximale / accélération nulle $ (\ dot {v} = 0) $, léquilibre des forces se simplifie à $$ mg = bv_ {max} , $$ ou $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Revenons à notre équation différentielle, si la vitesse initiale $ v (0) = 0 $, alors la solution de cet ODE est $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ En définissant la constante de temps comme $ \ tau = \ frac { m} {b} $ et en utilisant la définition de la vitesse terminale, lévolution temporelle de la vitesse se simplifie à $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ La position, si on le souhaite, est trouvée assez facilement en effectuant une autre intégration: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ En supposant que la position initiale $ y (0) = 0 $ et en simplifiant, la solution pour la position verticale est alors $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Nous avons donc maintenant des solutions analytiques pour laccélération, la vitesse et la position de lobjet qui tombe en fonction du temps et des paramètres système, tous connus ( sauf pour $ b $). Notez cependant que le temps demandé pour atteindre une vitesse de 0,63 $ v_ {max} $ nest pas arbitraire. Après quune constante de temps se soit écoulée, nous aurons $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Ainsi, nous devons simplement calculer la valeur de la constante de temps et la valeur résultante sera votre réponse. En ce qui concerne vos camarades de classe, ils nont pas tort. Notre objectif est de calculer $ \ tau $, et si vous regardez attentivement nos calculs précédents, vous verrez que $ \ tau $ est en effet égal à la vitesse terminale divisée par $ g $. Les tracés doctave des fonctions de position, de vitesse et daccélération sont inclus ci-dessous pour référence (remplacez $ k $ par $ b $ dans le deuxième tracé).
Commentaires
- Oui, on ne nous a jamais appris que équation à laquelle vous vous êtes lié. Mais merci, cest à peu près exactement ce que je recherchais.Je voulais juste savoir sil y avait une méthode plus générale pour résoudre cette question que nous étions censés être en mesure de comprendre, et il semble que la réponse soit non.
- @JakeChristensen Il y en a peut-être encore une autre moyen de trouver votre réponse, mais rappelez-vous que le calcul (au moins Newton ' s Calculus) a été inventé pour résoudre des problèmes de physique 😉
Réponse
En général, la traînée est proportionnelle à la vitesse au carré, et donc laccélération vers le bas est
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
La solution à un tel mouvement est $$ \ begin {aligné} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {aligné} $$
Alors branchez la vitesse $ v $ que vous voulez cibler et cela vous donnera la distance $ x $ et $ t $ pour latteindre.
PS. Si vous ne connaissez pas le paramètre de glissement $ \ beta $ , mais que vous connaissez la vitesse maximale, vous pouvez l’estimer à partir de la vitesse maximale, en résolvant $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Réponse
1) Trouvez la force de traînée à la vitesse terminale.2) Multipliez cette force par 0,63 (63%) 3) Divisez cette nouvelle force par la masse de la goutte de pluie 4) Utilisez le temps daccélération de la vitesse équation cinématique à résoudre pour le temps $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Commentaires
- Ceci nest pas ' t correct. Vous supposez que laccélération est constante (ce qui nest explicitement pas dans toute question impliquant des changements de vitesse et de résistance de lair) . Je ' m en supposant ici que $ a (t) $ signifie $ a * t $, puisque si vous entendez $ a $ en fonction de $ t $ cela na aucun sens à tous.