Combien de temps faut-il pour quune tasse deau sévapore?
Pour répondre à cette question, je vais supposer quelques paramètres de base, et que leau est soufflée par un ventilateur, pour arriver à une estimation:
- Volume deau: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Superficie supérieure de leau: $ A_ \ mathrm s = 0.05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Température ambiante: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Température de leau: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Humidité relative de leau dans lair ambiant: 50 $ \ \% $
- Coefficient de convection de transfert de chaleur dun ventilateur / vent: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Soit « s supposons que leau soit en équilibre thermique avec la pièce environnante (un grand réservoir de chaleur) donc il ny a pas de convection flottante.
Je commence par le flux massique évaporatif donné par
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
et $ h_m $ est le coefficient de transfert de masse, qui se trouve à partir de lanalogie du transfert de chaleur et de masse:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
où $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ est le nombre de Lewis. Ainsi, le débit massique évaporatif est
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Nous pouvons estimer la différence de densité en utilisant lhumidité relative de lair à ~ $ 50 \ \% $ pour une salle normale:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ times 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8.315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ times 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Le nombre de Lewis est calculé à partir de la diffusivité thermique de lair $ \ alpha = 2,2 \ fois 10 ^ {- 5} $ et le coefficient de diffusion binaire $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ pour la diffusion de la vapeur deau dans lair est donnée par une corrélation expérimentale (avec $ p $ dans $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ fois 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2,072}} {p} = 1,87 \ fois 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2,5 \ fois 10 ^ {- 5} $$
Le nombre de Lewis est donc $ Le = \ frac {2,2} {2,5} = 0,88 $ . Le débit massique de la surface est
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ fois 0,012} {1,2 \ fois 1000 \ fois 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ fois 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Maintenant, je suppose que ce flux de masse reste constant avec le temps puisque leau est en quasi-équilibre thermique avec la pièce (un grand réservoir de température), et reste donc à température constante, ne modifiant donc pas les propriétés de leau.
Conservation de la masse sur leau cède
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
En intégrant, nous constatons que le taux de changement de masse dans le temps est linéaire:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
Pour sévaporer complètement, $ m (t) = 0 $ et
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1,2 \ fois 0,2} {5,5 \ fois 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1,2 \ \ mathrm h $$
Leau met 1,2 heure à sévaporer complètement.
1 heure dévaporation semble assez rapide, mais jai utilisé un coefficient de convection important depuis le début. Quelques réflexions / questions:
- Et sil ny avait pas de convection forcée dun ventilateur? Nous navons pas de convection naturelle ou de rayonnement flottant car leau est en équilibre thermique avec la pièce. Quelle est la nature de lévaporation dans ce cas et comment calculer la perte de masse?
- Jai supposé que le La perte de masse par évaporation est constante dans le temps, car leau est en équilibre thermique avec la pièce (un grand réservoir) et ne change pas de température. Est-ce une bonne hypothèse?
Commentaires
- Je nai ' t vérifié votre arithmétique, mais votre approche est correcte. Concernant la question, sil ny a absolument pas de convection, alors, comme dans le pire des cas, vous auriez un problème de diffusion direct.Cela signifierait que vous auriez une accumulation de concentration dans lair entourant la surface de la tasse, et létendue de cette région augmenterait avec le temps, avec 100% dhumidité à la surface et 50% dhumidité loin de la surface.
- @ChetMiller Ce serait donc comme un problème de diffusion de masse semi-infinie, avec des équations et des solutions de gouvernance similaires au problème semi-infini de transfert de chaleur? Le flux de masse serait alors dépendant du temps, nest-ce pas?
- En pratique, je pense quessayer de calculer avec précision le taux dévaporation est assez difficile. Il y a généralement une fine couche dair stagnante juste au-dessus de la surface de leau qui a une humidité relative beaucoup plus élevée que lHR de la pièce, et cette couche mince est un facteur limitant important du taux dévaporation. Ne pensez pas ' que ' est facile de calculer avec précision l’humidité relative ou l’épaisseur de la couche, ou comment ces deux paramètres peuvent changer en fonction de la quantité dair circulant sur la surface. Le taux dévaporation peut également être sensible à lhuile minuscule ou à dautres films à la surface.
- Bien sûr. Il faudrait probablement le résoudre numériquement à moins que vous ne souhaitiez approximer la surface de leau comme une petite zone circulaire noyée dans un plan infini en dessous du demi-espace semi-infini. Je ' suis sûr que Carslaw et Jaeger ont la solution à ce problème de transfert de chaleur analogue.
- @SamuelWeir Drew ' La solution prend en compte la couche limite de concentration au-dessus de la surface. Son coefficient de transfert de masse est égal au coefficient de diffusion divisé par lépaisseur de la couche limite.