Une cellule unitaire hexagonale à emballage fermé (hcp) a un type demballage ABAB . Pour calculer la fraction demballage, nous avons besoin du volume de la cellule unitaire.
Volume du treillis hcp = (Zone de base) $ \ cdot $ (Hauteur de la cellule unitaire)
Chaque hexagone a un côté = $ 2 \ cdot r $
Aire de base = $ 6 $ (Aire de petits triangles équilatéraux constituant lhexagone)
$$ = 6 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {4} \ times (2r) ^ 2 $$ $$ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $$
Par conséquent, volume $ = 6 \ cdot \ sqrt {3} \ cdot r ^ 2 $ (Hauteur de cellule unitaire)
Cest le point où je suis bloqué. Comment connaître la hauteur de la cellule unitaire?
Jai cherché dans les manuels et découvert cette hauteur $ = 4r \ cdot \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Pouvez-vous expliquer pourquoi?
Réponse
Nous allons lessayer en utilisant les similitudes entre hcp et ccp. Ici, nous savons que $ hcp $ et $ ccp $ ont un treillis similaire sauf le fait que $ hcp $ est de type ABAB alors que $ ccp $ est de type ABCABC. Par conséquent, nous savons également que leur fraction demballage $ (\ phi) $ est la même et $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Maintenant, comme vous lavez mentionné, Volume du réseau hcp $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Il y a 6 atomes au total dans hcp. Doù $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Pour simplifier, nous obtenons la hauteur du treillis hcp $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$
Commentaires
- On obtient que leur fraction demballage est égale après avoir évalué le volume à partir de la hauteur, etc. Votre réponse fonctionne à rebours.
Réponse
Pour calculer la hauteur dune cellule unitaire, considérons un vide tétraédrique dans un agencement demballage fermé hexagonal. Il peut être imaginé comme 3 sphères solides se touchant et au centre, vous avez une autre sphère empilée sur elles. Une version interactive peut être consultée sur ce site . La situation ressemble à ceci:
Si vous joignez les centres de ces quatre sphères, vous obtiendrez un tétraèdre. Cest essentiellement une pyramide avec une base triangulaire. Je suppose que chaque arête de notre tétraèdre est égale à $ a $.
Maintenant, vous avez une pyramide ($ ABCD $), avec une base équilatérale ($ \ Delta BCD $), je voudrais que vous déposiez une perpendiculaire du point le plus élevé ($ A $) au centre ($ G $) de la base triangulaire. Si vous me suivez correctement, vous aurez un chiffre comme celui-ci:
Tout ce que nous avons à maintenant est de calculer la longueur $ AG $. Pour cela, utilisez simplement le théorème de Pythagore dans $ \ Delta AGD $.
$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$
Bien que nous sachions que $ AD = a $, le côté $ GD $ reste inconnu. Mais cest facile à calculer. Le point $ G $ est le centre de gravité de $ \ Delta BCD $. Ainsi, la longueur $ GD $ est égale à $ a / \ sqrt {3} $. En ajoutant les valeurs de notre première équation, nous obtenons $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Mais notez que cest la moitié de la hauteur de notre cellule unitaire. Ainsi, la hauteur requise est $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.
Réponse
Dans la structure hexagonale compacte la plus proche, $ a = b = 2r $ et $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , où $ r $ est le rayon atomique de latome. Les côtés de la cellule unitaire sont perpendiculaires à la base, donc $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .
Pour un plus proche -tructure compacte, les atomes aux coins de base de la maille élémentaire sont en contact, donc $ a = b = 2 r $ . La hauteur ( $ c $ ) de la cellule unitaire, qui est plus difficile à calculer, est $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .
Soit larête de la base hexagonale égale $ a $
Et la hauteur de lhexagone égale $ h $
Et le rayon de la sphère est égal à $ r $
La sphère centrale de la première couche se trouve exactement au-dessus du vide de la deuxième couche B.
La sphère centrale et les sphères de la 2ème couche B sont en contact
Donc, dans $ \ Delta PQR $ ( un triangle équilatéral):
$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ tangente aux points
$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$
$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$
$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$
$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$
$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$
$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$
Par conséquent, dans le calcul de lefficacité demballage de hcp arr angement, la hauteur de la cellule unitaire est prise comme $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .
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Commentaires
- Que signifie le triangle de points?
- Comment se fait-il que langle QRS soit de 30 degrés?