Comment calculer la valeur attendue dune distribution normale standard?

Vous y êtes presque, suivez votre dernière étape:

$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.

Ou vous pouvez directement utiliser le fait que $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ est une fonction impaire et les limites de lintégrale sont la symétrie.

Commentaires

• Largument de symétrie ne fonctionne que si les deux moitiés sont elles-mêmes convergentes.
• Pouvez-vous expliquer ce qui se passe sur la deuxième ligne?
• Le commentaire de Glen ‘ est correct sil nest pas convergent alors le changement de variable ne fonctionnera pas
• La deuxième ligne est égale à la première ligne puisque $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ notez également le signe négatif au début. Ensuite, vous pouvez penser au changement de variable pour lintégration, puis vous la modifiez à nouveau puisque les limites nont pas changé. Ou vous pouvez utiliser lintégration par pièces. Et rappelez-vous $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
• Pour utiliser la symétrie pour obtenir la moyenne, vous devez savoir que $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ converge – cest le cas dans ce cas, mais plus généralement, vous pouvez ‘ le supposer. Par exemple, largument de symétrie dirait que la moyenne du Cauchy standard est 0, mais il nen a ‘.

Puisque vous souhaitez apprendre des méthodes de calcul des attentes et que vous souhaitez connaître quelques méthodes simples, vous apprécierez dutiliser le fonction de génération de moment (mgf)

$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$

La méthode fonctionne particulièrement bien lorsque la fonction de distribution ou sa densité sont elles-mêmes données comme exponentielles. Dans ce cas, vous navez pas besoin de faire une intégration après avoir observé

$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$

parce que, écrire la fonction de densité normale standard à $ x $ comme $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (pour une constante $ C $ dont vous naurez pas besoin de connaître la valeur), cela vous permet de réécrire son mgf comme

$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$

Sur le côté droit, après le $ e ^ {t ^ 2/2} $ term, vous reconnaîtrez lintégrale de la probabilité totale dune distribution normale avec moyenne $ t $ et variance unitaire, qui est donc $ 1 $. Par conséquent

$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$

Étant donné que la densité normale devient si rapidement petite aux grandes valeurs, il ny a pas de problèmes de convergence quelle que soit la valeur de $ t $. $ \ phi $ est manifestement analytique à $ 0 $, ce qui signifie quil équivaut à sa série MacLaurin

$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots.$$

Cependant, puisque $ e ^ {tX} $ converge absolument pour toutes les valeurs de $ tX $, nous pouvons aussi écrire

$$ E [e ^ {tX}] = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$

Deux séries de puissances convergentes ne peuvent être égales que si elles sont égales terme par terme, doù (en comparant les termes impliquant $ t ^ {2k} = t ^ n $)

$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$

impliquant

$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$

(et toutes les attentes de puissances impaires de $ X $ sont nulles). Pour pratiquement aucun effort, vous avez obtenu les attentes de toutes les puissances intégrales positives de $ X $ à la fois.

Les variations de cette technique peuvent fonctionner tout aussi bien dans certains cas, comme $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, à condition que la plage de $ X $ soit convenablement limitée. Les mgf (et son proche parent la fonction caractéristique $ E [e ^ {itX}] $) sont si généralement utiles, cependant, que vous les trouverez donnés dans des tableaux de propriétés de distribution, comme dans l lentrée Wikipedia sur la distribution normale .