Ma question est de savoir comment calculer lerreur de type II $ \ beta $?
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Supposons que je veuille tester $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (je dois calculer lerreur de type II $ \ beta $, donc je dois corriger un $ \ mu $, disons 1, dans $ H_1 $).
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Supposons que la distribution pour $ H_0 $ est $ F_0 $, $ H_1 $ est $ F_1 $, où $ E [\ xi] = 0 $ si $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ si $ \ xi \ sim F_1 $.
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Maintenant, je crée un estimateur pour $ \ mu $, disons $ \ bar {X} _n $, et un test statistique $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (laissez « s supposer $ \ sigma $ est connu).
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Maintenant, je crée une règle de rejet ($ H_0 $): $ S_n > b $.
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Lerreur de type II est calculée comme suit: $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Mes questions sont (je veux vérifier trois choses):
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La logique de construction ci-dessus est correcte, non?
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La distribution dans « $ P_ {F_1} (S_n > b) $ » est $ F_1 $, non?
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[le plus important] Le $ S_n $ dans « $ P_ {F_1} (S_n > b) $ » devrait utiliser $ F_0 $ pour calculer, non?
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Je veux dire, peu importe lerreur de type I ou de type II que je calcule, jai toujours besoin dutiliser $ F_0 $ pour calculer les statistiques de test, non?
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Je veux dire, $ S_n $ est toujours $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ dans le calcul derreur de type I ou de type II ation, mais pas $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ dans le calcul de $ \ beta $, non?
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Ou, cela ne devrait pas être un problème, car les statistiques de test sont juste une fonction déchantillon et ne doivent pas impliquer de paramètres?
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Commentaires
- Lerreur de type II consiste à ne pas rejeter lhypothèse nulle lorsquelle est fausse, cest-à-dire que $ H_1 $ est vrai. Je pense que vous devriez utiliser $ F_1 $ pour calculer P mais pas $ F_0 $ comme vous lavez écrit $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Vous pouvez également vous référer au calcul de puissance qui est basé sur le paramètre $ H_1 $, et Type II $ \ beta $ = 1-power
- Merci! Vous avez raison. Jai fait une erreur. Cest $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ pour lerreur de type II.
Réponse
Notons $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ la distribution sous lhypothèse nulle et $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ sous $ H_1 $, donc vous avez une statistique de test $ X $ et vous voulez tester
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ contre $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
De la façon dont vous le décrivez, vous voulez effectuer un test unilatéral, et vous définissez la région critique dans la queue droite. Donc, après avoir choisi un niveau de confiance $ \ alpha $, vous utiliserez la distribution $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ pour trouver la valeur du quantile $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ tel que $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (je suppose des distributions continues). Le superindex $ (0) $ indique que les probabilités sont mesurées sous $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, donc vous avez besoin de la distribution nulle $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ pour définir la région critique, cest-à-dire le quantile $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
A partir dun échantillon, vous pouvez observer un résultat $ x $ pour la variable aléatoire $ X $ et la valeur nulle sera rejetée lorsque $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. En dautres termes, votre test décidera que $ H_1 \ textrm {a été jugé vrai} \ ssi x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
La puissance de votre test est la probabilité que $ H_1 $ soit jugé vrai chaque fois que $ H_1 $ est vrai , donc la puissance est la probabilité que $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ chaque fois que $ H_1 $ est vrai, cest le probabilité que $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ lorsque la vraie distribution est $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ ou la puissance $ \ mathcal {P} $ est
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Où le superindex $ (1) $ indique que les probabilités sont calculées sous $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Donc la puissance est mesurée avec $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ mais vous avez besoin de la valeur de $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ qui est calculée avec $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Jai utilisé la puissance $ \ mathcal {P} $ et lerreur de type II $ \ beta $ est $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
Dans votre cas
Vous avez raison quand vous dites que « » La distribution dans « $ P_ {F_1} (S_n > b ) $ « est $ F_1 $ » «
Cependant, pour trouver $ b $, vous devrez utiliser le $ F_0 $. En fait, le $ b $ est lanalogue de $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $