En tant quétudiants en mathématiques à vie, nous trouvons que la résolution de problèmes est absolument essentielle pour améliorer notre compréhension du sujet. Enseigner aux autres ce que nous savons sert à renforcer nos connaissances existantes et à diffuser des informations aux apprenants.
Cependant, comment fait-on pour créer de «bons» problèmes?
Par « bien », je veux dire des problèmes qui suscitent la réflexion, inspirants avec des solutions qui sont extensibles à dautres domaines. En outre, cela s’améliore au niveau des problèmes olympiques, pour lesquels les auteurs de problèmes semblent avoir un degré remarquable d’ingéniosité et de créativité dans la conception de nouveaux problèmes.
Commentaires
- Je crains que cette question soit trop large. Je ‘ ne veut pas dire que nous ne pouvons ‘ décider de ce que » bien » signifie, en termes de problème mathématique. Mais, plutôt, cette définition dépend trop fortement (i) de la destination du problème et (ii) des types de contenus / techniques mathématiques à utiliser. Cest-à-dire quun problème » bon » pour un élève de 6e apprenant des fractions est très différent dun » bon » problème pour montrer à un étudiant en économie à quel point le calcul est utile dans sa discipline.
- Je conviens quil serait préférable davoir ceci limité à un seul sujet en mathématiques, par exemple comment créer de bons problèmes de topologie.
- Certains de mes professeurs avaient un talent imbattable pour rédiger des devoirs / examens dans lesquels vous avez beaucoup appris en faisant les problèmes. Dautres ont juste donné des problèmes ennuyeux. Les premiers étaient généralement beaucoup plus difficiles dans lensemble, même sils nétaient pas » plus difficiles » en aucun sens. Si vous examinez les problèmes proposés dans les manuels, vous ‘ verrez la même chose. Jai ‘ peur que ce soit dans une large mesure un talent difficile à transmettre.
- Lun des plus gros problèmes que jai rencontrés dans mes études antérieures était quil ny avait pas contexte donné pour le problème que nous résolvions. Mettre ces derniers dans leur contexte pourrait aider un peu. Par exemple, prenons la factorisation dun polynôme. Si vous le mettez dans le contexte de loptimisation en calcul (résolution des zéros dun dérivé), son utilisation devient évidente. Utiliser les mots problèmes présentés dans des matériaux plus avancés, puis leur demander seulement de résoudre la partie qui leur a été enseignée (dans lexemple ci-dessus, leur faire factoriser un dérivé précalculé) est une stratégie valable pour présenter les problèmes dans un contexte correct.
Réponse
Comme votre question est très large, voici une réponse un peu large: En savoir plus sur la pose de problèmes.
Trois éléments clés sont:
Silver, EA (1994). Sur la pose de problèmes mathématiques. Pour lapprentissage des mathématiques, 14 (1), 19-28.
et le livre
Marron, SI, & Walter, MI (2005). Lart de poser des problèmes . Psychology Press.
Ce dernier est une réimpression dun livre sorti pour la première fois en 1983. Vous pouvez également trouver un livre connexe édité par Brown et Walter; une citation pour la version la plus récente est:
Brown, SI, & Walter, MI (Eds. ). (2014). Problème posant: réflexions et applications . Psychology Press.
Commencez par ces trois documents, leurs références et (en recherchant sur google scholar) dautres articles et articles qui les citent.
Pour esquisser très grossièrement la suggestion de Brown et Walter: Commencez par un scénario mathématique, listez les hypothèses, faites varier les contraintes (dans leurs termes: » What-if- not-ing « ), puis posez des questions. Vous pouvez même » cycle » à travers ce processus à plusieurs reprises afin de produire des problèmes de complexité croissante.
Bien sûr, le fait de poser un problème comporte le danger de ne pas connaître la réponse à ce que vous demandez.
Par exemple , votre scénario de départ pourrait utiliser le théorème de Pythagore:
Trouvez toutes les solutions entières pour $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Cet exemple particulier est exploré dans le livre de Brown et Walter, mais il me semble quune hypothèse raisonnable à énumérer est que lexposant partout est $ 2 $ , et de demander des solutions entières lorsque lexposant est $ 3 $ .. .. ou, si lon se sent particulièrement audacieux, généraliser et demander lexposant $ k \ geq 3 $ .
En un coup dœil, cela peut sembler une question raisonnable; mais, si vous connaissez le dernier théorème de Fermat, alors vous vous rendrez compte que ce nest pas un problème approprié pour la plupart des étudiants.
Vous pouvez trouver quelques-unes de mes brèves remarques sur la pose de problèmes et la créativité en partie $ 4b $ ici , et quelques autres exemples concernant la pose de problèmes et lintuition dans le exemple concret section ici .
Une dernière remarque: Vous commencez par mentionner l » essentiel » rôle de la résolution de problèmes dans lamélioration de notre compréhension des mathématiques. Il peut être intéressant de noter que le problème posant joue un rôle important dans résolution: considérez la liste dheuristiques de Polya et combien dentre elles sont des questions: Quest-ce quun problème connexe? Quest-ce quun problème plus simple? Comment puis-je généraliser ce problème? Etc. (Historiquement, Silver, dans le premier article cité ci-dessus, et Kilpatrick, sur la formulation du problème , retracent cette observation, cest-à-dire que la pose de problème fait partie intégrante de la résolution de problèmes, du moins en remontant à un article de Karl Duncker en 1945.)
Comme lécrivait Cantor (1867) dans sa thèse de doctorat:
«In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi »
(« En mathématiques, lart de poser des questions est plus précieux que de résoudre des problèmes »).
Commentaires
- Alors que je ‘ suis fan de P ó lya ‘ s livre, je crains quil ne suppose que lon vous donne toutes les données nécessaires, et seulement les données nécessaires, trop intégrées . » Les problèmes du monde réel » consistent en grande partie à découvrir ce qui est pertinent et ce qui ne lest pas ‘ t, et collecte missin g data.
- @vonbrand En plus de regarder certains livres suivants de Polya ‘ (post- Comment le résoudre ) I ‘ d suggère, pour les problèmes du » du monde réel « , en examinant la littérature sur la modélisation mathématique. Lintersection de la modélisation mathématique et de lenseignement des mathématiques peut encore être analysée assez complètement; commencez par le travail de Pollak ‘ (pertinent: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) et déplacez-vous à ses citations …
Réponse
Pour moi, il y a peut-être trois types principaux de problèmes que je assign:
- Développement des compétences de routine : soit sont modelés sur un calcul que jai montré des problèmes similaires résolus, ou, sont un problème de preuve qui nest quune conséquence naturelle de la définition avec peu de technique supplémentaire requise. Pour un cours de démonstration, de nombreux problèmes ne sont guère plus quune invitation à se soucier de ce que signifie réellement la notation.
- Découverte de létendue : dans chaque cours, il y a certains sujets pour lesquels nous navons pas assez de temps en cours. Cest une expérience très enrichissante pour les étudiants dêtre guidés à travers un court module de problèmes où ils découvrent les caractéristiques essentielles dun sujet qui nest pas couvert en profondeur par des cours magistraux et dautres supports.
- Challenge : ici il ny a pas de rails, pas de boîte, aucune attente que personne dans le cours résout le problème. Parfois, celles-ci sont utilisées pour montrer les limites dune famille actuelle de techniques pour résoudre des problèmes, parfois elles impliquent une intuition floue qui guide un saut créatif.
Je soupçonne la plupart des problèmes que jécris et / ou attribuer une correspondance entre 1 ou 2, mais les étudiants maccusent souvent de 3. Honnêtement, lune des raisons pour lesquelles jessaie de surfer assez sur le MSE est dévaluer ce qui est couvert dans mes cours dans dautres universités. En outre, la saveur internationale du MSE maide à avoir un aperçu de ce qui se passe dans les écoles du monde entier.
Commentaires
- Vous laissez de côté la question piège préférée de tous les temps, où vous devez trouver une touche Rube-Goldbergian pour en avoir espoir de résoudre le problème. Beaucoup ici sont accusés davoir commis des énigmes, pas des examens …
- @vonbrand eh bien, cela serait probablement remis en question. Souvent, de tels problèmes commencent par une réponse, une certaine magie noire impliquant des séries se produit et ensuite on demande à lélève de voir un modèle … ha ha ha … mal.
Réponse
Deux suggestions:
1) Participez à des ateliers et à des conférences et recherchez des sessions de résolution de problèmes ou des présentateurs qui partagent leurs « problèmes préférés. »Lorsque les problèmes et les solutions sont discutés, des méthodes et des approches uniques apparaissent.
2) Construisez une bibliothèque et prenez le temps de lire. Collectez des livres, des fichiers PDF et des sources. Un manuel qui ne convient pas aux élèves peut être un excellent source de problèmes. (Utilisez Amazon et eBay pour obtenir des versions utilisées qui sont beaucoup moins chères.) Modifiez la version du manuel si nécessaire. La créativité dans la création de problèmes provient du feuilletage des sources.
Commentaires
- Consultez les sites des olympiades de mathématiques. Recherchez des notes de cours, des examens (résolus), des devoirs, … le réseau ‘ regorge de ce genre des trucs.
Réponse
Vous navez pas spécifié de niveau spécifique, mais je pense que votre question a du mérite dans tous les cas. Je vais le prendre au niveau K-8. Premièrement, je veux répondre à votre exigence spécifique:
Par « bien », je veux dire des problèmes qui suscitent la réflexion, inspirants avec des solutions extensibles à dautres domaines.
Jinterpréterai «inspirant» comme signifiant que les élèves auront une motivation pour sengager dans les mathématiques du problème. Pour «susciter la réflexion», je suppose que vous voulez dire que les problèmes ont une forte probabilité dexiger des élèves quils sengagent dans un raisonnement mathématique productif. Ce sont des caractéristiques essentielles de bonnes recherches dans un programme. Autrement dit, un bon programme devrait contenir des activités et des enquêtes qui satisfont à ces critères.
Jai demandé une fois à une créatrice de programmes bien connue de haute qualité comment elle savait que ses problèmes de programme répondaient aux exigences de « enseignement réaliste des mathématiques « (qui était lapproche qui a inspiré son programme. Elle a répondu quils devaient essayer chaque activité avec de vrais étudiants à plusieurs reprises dans le processus de recherche et développement. les premières ébauches peuvent avoir été basées sur la théorie, en réalité le programme fini a été fortement testé.
Par conséquent, trouvez et collectez les problèmes développés par de bons concepteurs de programmes. Si nécessaire, créez votre propre bibliothèque de ces problèmes.
Une dernière note: vous avez suggéré que vous vouliez des problèmes dont les solutions étaient extensibles à dautres domaines. Je vous suggère dêtre prudent avec ce genre dhypothèse dans la recherche de problèmes. Ce quils arrivent à comprendre dans le processus de pose de problèmes et la résolution peut les aider à former des conn ections entre les contextes. Cependant, vous trouverez peut-être difficile de soutenir la notion de «solutions transférables de domaine» dans la bonne littérature sur lenseignement des mathématiques. Concentrez-vous davantage sur le type de raisonnement mathématique auquel les élèves auront loccasion et les ressources de sengager.