Supposons que nous ayons un hamiltonien sur $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ On sait aussi $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ et $ A ^ 2 = 0 $, soit $ W = A ^ {\ dagger} A $
Comment pouvons-nous exprimer $ H $ comme $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Jusquà présent, jai montré que si nous considérons les valeurs propres de $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Cela implique que $ A | \ psi \ rangle $ et $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ sont aussi des vecteurs propres de $ W $ à valeur propre $ 1-w $. En utilisant $ A ^ 2 = 0 $, nous trouvons que $ w = 0 $ ou $ 1 $
Je ne sais pas vraiment comment exprimer des opérateurs sous forme de matrices, comme la majorité des mon cours utilise la notation de la fonction donde, japprécierais vraiment si quelquun pouvait expliquer les prochaines étapes ici juste pour que je puisse en avoir une compréhension plus rigoureuse.
Commentaires
- Pouvez-vous résoudre pour A, à partir des 2 équations que vous avez écrites? Supposons que les nombres complexes généraux a, b, c, d sont les valeurs de la matrice de A. Je suppose que cela pourrait fonctionner.
Réponse
Comme @MichaelBrown la souligné dans la réponse, pour obtenir lélément de matrice, il suffit de prendre en sandwich lopérateur entre deux états. Donc, dans le cas de votre hamiltonien $ H $, les éléments de la matrice sont donnés sous la forme $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Je dois souligner que $ i $ « s que vous utilisez doit être le jeu de base dans lequel vous » êtes. Si vous avez un état $ \ psi $, alors si $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ uniquement que vous pouvez exprimer les éléments de la matrice de votre opérateur de cette manière. Si vous prenez en sandwich lopérateur entre létat lui-même, vous vous retrouverez avec lattente de létat. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Commentaires
- Merci davoir pris le temps de répondre, cependant, comme je lai dit à MichaelBrown, comment puis-je appliquer cela à cette situation? Où tout ce que je sais, ce sont deux vecteurs propres et leurs valeurs propres correspondantes.
Réponse
Lélément de matrice $ O_ {ij} $ dun opérateur est défini par $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ et il est traditionnel que lindex $ i $ étiquette la ligne et $ j $ la colonne. De cette façon, la multiplication matricielle fonctionne comme vous attendez: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ que vous pouvez afficher en insérant un ensemble complet détats.
Commentaires
- Merci pour votre réponse, mais comment puis-je appliquer cela à cette situation? Là où je ne connais que deux vecteurs propres et leurs valeurs propres correspondantes.