Si le PDF standard standard est $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
et le CDF est $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
comment cela se transforme-t-il en une fonction derreur de $ z $?
Commentaires
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Jai vu ça, mais ça commence par ERF déjà défini.
- Eh bien, il y a ' une définition de erf et une définition du CDF normal .. Les relations, dérivables par certains calculs de routine, sont représentées comme comment convertir entre eux, et comment convertir entre leurs inverses.
- Désolé, je ne vois ' pas beaucoup de détails. Par exemple, le CDF va de -Inf à x. Alors, comment lERF passe-t-il de 0 à x?
- Connaissez-vous la technique de calcul du changement de variable? Sinon, apprenez comment le faire.
Réponse
Parce que cela arrive souvent dans certains systèmes (pour exemple, Mathematica insiste pour exprimer le CDF normal en termes de $ \ text {Erf} $), cest bien davoir un fil comme celui-ci qui documente la relation.
Selon la définition de , la fonction derreur est
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Ecrire $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ implique $ t = z / \ sqrt {2} $ (car $ t $ nest pas négatif), doù $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Les points de terminaison $ t = 0 $ et $ t = x $ devient $ z = 0 $ et $ z = x \ sqrt {2} $. Pour convertir lintégrale résultante en quelque chose qui ressemble à une fonction de distribution cumulative (CDF), elle doit être exprimée en termes dintégrales qui ont limites inférieures de $ – \ infty $, donc:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Ces intégrales de la taille de droite sont toutes les deux des valeurs du CDF de la distribution normale standard,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Plus précisément,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ gauche (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Ceci montre comment exprimer la fonction derreur en termes de CDF normal. La manipulation algébrique de cela donne facilement le CDF normal en termes de fonction derreur:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Cette relation (pour les nombres réels, en tout cas) est présentée dans les graphiques des deux fonctions. Les graphiques sont des courbes identiques. Les coordonnées de la fonction derreur sur la gauche sont converties en coordonnées de $ \ Phi $ sur la droite en multipliant les coordonnées $ x $ par $ \ sqrt {2} $, en ajoutant $ 1 $ aux coordonnées $ y $, puis en divisant les coordonnées $ y $ par $ 2 $, reflétant la relation
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
dans laquelle la notation montre explicitement ces trois opérations de multiplication, daddition et de division.
Commentaires
- Je pense que $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ est le bon façon de les relier, en tenant compte de la moyenne et de lécart type.