Comment la vitesse du son peut-elle augmenter avec une augmentation de la température?

La vitesse du son est donnée par:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

où $ P $ est le pression et $ \ rho $ est la densité du gaz. $ \ gamma $ est une constante appelée index adiabatique . Cette équation a dabord été conçue par Newton puis modifiée par Laplace en introduisant $ \ gamma $ .

Léquation doit avoir un sens intuitif. La densité est une mesure de la lourdeur du gaz, et les objets lourds oscillent plus lentement. La pression est une mesure de la rigidité du gaz, et les choses rigides oscillent plus rapidement.

Considérons maintenant leffet de la température. Lorsque vous réchauffez le gaz, vous devez décider si vous va garder le volume constant et laisser la pression monter, ou maintenir la pression constante et laisser le volume augmenter, ou quelque chose entre les deux. Considérons les possibilités.

Supposons que nous maintenions le volume constant, en Dans ce cas, la pression augmentera lorsque nous chauffons le gaz. Cela signifie que dans léquation (1) $ P $ augmente tandis que $ \ rho $ reste constant, donc la vitesse du son monte. La vitesse du son augmente parce que nous « rendons effectivement le gaz plus rigide.

Supposons maintenant que nous maintenions la pression constante et laissions le gaz se dilater lorsquil est chauffé. Cela signifie que dans léquation (1) $ \ rho $ diminue tandis que $ P $ reste constant et encore une fois la vitesse du son augmente. La vitesse du son augmente parce que nous « allumons le gaz pour quil oscille plus vite.

Et si nous suivons un cours moyen et laissons la pression et le volume augmenter, alors $ P $ augmente et $ \ rho $ diminue et encore une fois la vitesse du son augmente.

Alors quoi que nous fassions , augmenter la température augmente la vitesse du son, mais il le fait de différentes manières selon la façon dont nous laissons le gaz se dilater lorsquil est chauffé.

Tout comme une note de bas de page, un gaz idéal obéit à léquation de état:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

où $ n $ est le nombre de moles de gaz. La densité (molaire) $ \ rho $ est juste le nombre de moles par unité de volume, $ \ rho = n / V $ , ce qui signifie $ n = \ rho V $ . Si nous remplaçons $ n $ dans léquation (2), nous obtenons:

$$ PV = \ rho VRT $$

qui se réorganise en:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Remplacez ceci par léquation (1) et nous obtenons:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

donc:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

doù nous sommes intervenus. Cependant, sous cette forme, léquation cache ce qui se passe réellement, doù votre confusion.

Expérimentalement, la constante de proportionnalité pour léquation ci-dessus est denviron . 20.

Commentaires

• Je voulais juste vous faire savoir que votre réponse aide encore les gens 6 ans plus tard … Je ‘ jai passé environ une heure à essayer de trouver une explication intuitive à cette formule, et vous ‘ avez très bien résumé tout en quelques phrases 🙂

Excellente question. La réponse courte est que votre intuition (à propos de choses denses ayant des vitesses de son plus rapides) est probablement influencée par différents matériaux à la même température et est entachée de solides, alors que le problème ici est vraiment celui des gaz, qui sont différents.

Examinons quelques données:

Lair est clairsemé et a une faible vitesse du son de 760 mph. Les éléments plus lourds comme le cuivre sont denses et ont une vitesse de son plus rapide.Lacier a une vitesse de son de 10 000 mph !

Donc votre intuition nest pas trop mauvaise, non?

Quen est-il de lair froid par rapport à lair chaud? Lair froid est plus dense, mais a une vitesse du son inférieure! Voici où nous pouvons voir votre charmant paradoxe.

Il savère que la répulsion due aux ondes de compression externes (ce que vous appelez les ondes mécaniques) dans un solide comme un métal sont créées à partir de mécanismes différents dun gaz compressible. Une onde de pression dans un solide comprime des ions relativement stationnaires dans un réseau. Le réseau est très solide et les atomes ne bougent pas, mais ils peuvent vibrer. Si vous pressez de lacier, vous comprenez un peu ce réseau, mais la dépendance fonctionnelle des champs électriques dans ce réseau est assez complexe. En ce qui concerne à la question ici, un résultat, espérons-le évident, est que la dépendance à la température ne sera pas trop forte, puisque la fonction de force (distance) détermine la vitesse à laquelle une perturbation se déplace à travers le réseau et lénergie que vous donnez aux atomes du réseau a gagné « t change beaucoup la relation de la courbe réseau-distance-force qui nous intéresse ici.

Un gaz est une bête bien différente en ce sens quil ny a quun tas de particules indépendantes qui volent. Ici, la vitesse du son est , en gros, une moyenne pondérée des molécules de gaz les plus rapides qui se déplacent bien sûr avec la racine carrée de lénergie / température.

Par rapport à un solide, la question de savoir quelle est la vitesse du son dans un gaz est totalement trivial. Lisez e est ou ceci ou pour avoir une idée de la complexité des solides. Si je donnais aux physiciens uniquement les propriétés atomiques (pas des choses comme le module de volume) dun solide comme le cuivre et aussi dun gaz comme O $ _ \ rm 2 $, ils ne pourraient calculer, au moins avec une simple calculatrice, la vitesse du son dans O $ _ \ rm 2 $.

Un moyen rapide de corriger votre intuition est de noter la vitesse du son dans un solide à zéro absolu par rapport à un gaz. Seul ce dernier est nul. En effet, cest pourquoi les gaz ne peuvent pas exister près du zéro absolu. Les molécules dans un gaz suffisamment froid nont même pas assez dénergie pour séloigner les unes des autres, elles doivent donc être un liquide ou un solide à la place.

Jespère que vous voyez maintenant que vos expériences passées ne sappliquent vraiment quà pour différents matériaux, pas pour des matériaux individuels en fonction de la température.

Les ondes sonores se propagent à travers un milieu comme résultat À des températures plus élevées, les molécules ont une plus grande énergie cinétique, et comme elles se déplacent plus rapidement, leurs collisions se produisent à une fréquence plus élevée et elles transportent des ondes sonores plus rapidement. Plus grande énergie cinétique = moins dinertie = vitesse accrue.

Cependant, comme les ondes sonores sont des ondes de compression voyageant à travers un milieu compressible, leur vitesse dépend non seulement de linertie du milieu, mais aussi de son élasticité.

En général, plus les molécules sont rapprochées, plus elles seront rapides transportent des ondes sonores. Bien que la distance entre les molécules ait tendance à augmenter lorsquun milieu est chauffé, ceci est relativement moins important pour la vitesse du son dans un milieu donné que ne lest le mouvement plus rapide des molécules.

La température la plus élevée. implique une vitesse plus élevée pour la molécule, de sorte quelle entre en collision avec la molécule suivante à un moment plus rapide, même si elles sont éloignées de chacune. dautre part, la température inférieure. signifie une vitesse moindre et ainsi il peut également entrer en collision avec son voisin proche plus longtemps. merci!

Nous savons que la température et lénergie cinétique sont directement proportionnelles. Lorsque la température augmente, lénergie cinétique des molécules dair augmente et les molécules se déplacent plus rapidement. En raison de laquelle la propagation du son se fait rapidement, augmentant la vitesse.