Comment puis-je tracer le graphique complexe de $ x ^ x $ dans Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Voici « une vue qui montre comment le graphique commence à spirale pour les valeurs $ x $ négatives, si nous prenons en compte les valeurs complexes.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

En fait, si nous écrivons $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, ce n aturalement généralisé en $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; chaque $ 2i \ pi k $ représente une autre branche du logarithme complexe. Dans ce contexte, nous voyons que ce graphique ne forme quune spirale dune famille de spirales.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

Dans les classes élémentaires, vous pouvez voir laffirmation selon laquelle $ (p / q) ^ {p / q} $ est défini pour $ p $ négatif et $ q $ impair et positif. Ainsi, en incluant ces points, le graphique pourrait ressembler à ceci:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Du point de vue complexe, les points apparaissent comme des points où lun des fils en spirale perce le plan $ x $ – $ z $.

Commentaires

• Jai choisi yulinlinyu ' s comme réponse car il a répondu à ma question directement et succinctement – mais Mark Mcclure ' s La réponse va au-delà des attentes – et cest le véritable joyau de ce fil!

Comme yulinyu la indiqué out, quelque chose comme ce qui suit vous donnera lintrigue souhaitée.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Vous pourriez également être intéressé par cette excellente réponse de Simon Woods pour créer un graphique de lintrigue sur le domaine complexe. Utiliser sa fonction et évaluer ce qui suit vous donne une jolie image

domainPlot[#^# &] 

Commentaires

• Pendant une seconde, jai cru fumer… mais non
• Entraînez-vous vos hypno-pouvoirs?

Vous pouvez utiliser les nouvelles fonctions M12 ReImPlot et ComplexPlot pour des visualisations complexes dune fonction . Utilisation de ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

et ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Aussi

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

fait le travail dans la version 12.0.