Confusion concernant le calcul de la période fondamentale?

Les fonctions trigonométriques sont essentiellement exponentielles. Ainsi, un doublement de largument correspond à une mise au carré de la fonction (en un sens). Dans ce cas, il peut être vu en appliquant la formule daddition dangle:

$$ \ begin {aligné} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ thêta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {aligné} $$

Création

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Lapplication à votre équation:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

À partir de là, il est assez clair que la période fondamentale est de 0,25 car cela fait $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Sur demande:

$$ \ begin {aligné} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ gauche [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {aligné} $$

Vous devriez pouvoir comprendre à partir de là. Notez que le cas carré aurait pu être traité de la même manière.

Jutilise largement cette technique pour ces formules:

• Formules de fréquence quasi instantanée exactes optimales aux pics (partie 1)
• Formules de fréquences quasi instantanées exactes optimales aux pics (partie 2)
• Formules de fréquences quasi instantanées exactes optimales aux passages à zéro

Commentaires

• Merci de bien vouloir mettre à jour la 2ème dernière ligne de votre réponse. Cest une période fondamentale qui nest pas de 0,25 fréquence fondamentale
• @Man Done, bonne prise. Désolé pour cela.
• Merci de bien vouloir mettre à jour votre réponse pour répondre au besoin de mise à jour de la question
• @Man Arrêtez de changer les messages dobjectif. n = 3,4,5 … peut être calculé selon le modèle. le résultat final est $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ qui équivaut à $ T = 1 / (2n) $

Cela semble être plus un problème de sémantique.

Un signal est périodique avec le temps $ T $ if

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Donc le signal est périodique dans $ 0.5 $ puisque pour $ T = 0.5 \ cdot n $ largument du cosinus est un multiple entier de $ 2 \ pi $ . Puisquil « est périodique dans $ 0.5 $ , il est également périodique dans tous les multiples entiers de $ 0.5 $ , ie 1 $ , 1,5 $ , 2 $ etc.

Dans ce cas, il est également périodique dans $ 0.25 $ depuis $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0.5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Donc, tout signal périodique a un nombre infini de périodes, la fondamentale est la plus petite et toutes les autres sont des multiples entiers de la fondamentale.

Si cela aide, générez une onde sinusoïdale damplitude unitaire à 1 Hz et son carré:

Ensuite, londe sinusoïdale et son carré ressemblent à ceci:

Vous pouvez voir la composante DC: la valeur moyenne de londe sinusoïdale carrée (moyennée sur un nombre entier de périodes) est 1/2. Et la fréquence sinusoïdale rouge est exactement doublée, donc la période est divisée par deux. Le DC et la fréquence doublée sont les « fréquences de battement » obtenues en multipliant londe sinusoïdale par elle-même.

Commentaires

• quel logiciel utilisez-vous?
• Jutilise un programme de simulation commercial nommé Extend (ancienne version) et ExtendSim (versions plus récentes), de Imagine That, Inc. Celles-ci sont complétées par quatre bibliothèques de blocs que jai commencé à développer en 1990. Mes bibliothèques, nommées LightStone, sont disponibles gratuitement, avec un code source entièrement commenté. LURL de mes bibliothèques est umass.box.com/v/LightStone . Je mettrai à jour les bibliothèques dici la fin de la semaine afin quelles fonctionnent avec la dernière version dExtendSim 10.0.6 (devrait être juste une recompilation). Le modèle ci-dessus a été réalisé avec Extend 6.0.8 sur un ancien Mac (jaime son apparence).
• Merci, je ' je vais le vérifier: )