Voici « une question de probabilité (probablement très simple) Je ne sais pas comment résoudre:
Gamma distribution $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ avec $ \ mu = 20 $ et $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
La question précédente était de trouver les valeurs de $ \ alpha $ et $ \ beta $, ce que jai fait en utilisant $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ et $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alpha $$ \ beta ^ 2 $.
Pour la distribution gamma cdf, mon manuel dit $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ où $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ est la distribution gamma standard cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Pour intégrer cela, il semble que jai besoin dutiliser la règle de chaîne, mais notre professeur ne la jamais fait un exemple. Existe-t-il une méthode de raccourci? Nous navons jamais utilisé lintégration dans un exemple réel, uniquement pour définir le pdf et obtenir le cdf pour différentes distributions.
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Les exemples dans mon manuel impliquant des problèmes de distribution gamma standard disons de rechercher les valeurs de $ F (x; \ alpha) $ dans le tableau A.4 de lannexe. Quand jai regardé, le tableau A.4 manquait, ce qui me déçoit vraiment. tableaux de distribution gamma standard en ligne que je peux imprimer et remettre avec le devoir? Jai vérifié Wolfram Alpha mais ils nen avaient pas. Casio a quelque chose , mais je ne sais pas quels sont les paramètres de forme et déchelle.
Édition 2
Jai trouvé ce tableau. Au début du livre, le tableau A.5 venait juste après A.3, cest pourquoi je pensais quil manquait A.4. Je suis allé à la bibliothèque pour voir sils avait le même manuel, ils lont fait, et quelquun avait le bon sens (que je navais pas) pour regarder au dos du livre, et il était là. Aucune aide supplémentaire nest nécessaire.
Commentaires
- Vous devez intégrer par parties à plusieurs reprises commençant par $ u = y ^ {\ alpha-1} $ et $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $, et $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Chaque fois que vous le faites, vous obtiendrez une intégrale avec un exposant plus petit pour $ y $. Si $ \ alpha $ est un entier, vous pourrez terminer le processus. Si $ \ alpha $ nest pas un entier, les choses sont plus compliquées.
- @dilip vous devriez poster votre commentaire comme réponse.
- @DilipSarwate, il ny a pas de solution de forme fermée pour $ \ alpha $ non-entier, ce cdf est alors la fonction gamma incomplète .
- Et je doute fortement que lintégration par partie ait été le but de lexercice.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4 %2C+24 unity
Réponse
Comme suggéré par probabiliste, mon commentaire est converti en réponse.
Vous devez intégrer par parties à plusieurs reprises en commençant par $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, et en utilisant $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Puisque $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, chaque fois que vous effectuez une intégration par parties, vous obtiendra une intégrale avec un e plus petit xponent pour $ y $ sur le côté droit. Si $ \ alpha $ est un entier (comme cest le cas dans ce cas particulier), vous pourrez terminer le processus avec un $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Si $ \ alpha $ nest pas un entier, les choses sont plus compliquées car il ny a pas dexpression générale de forme fermée pour $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ où $ 0 < \ gamma < 1 $. Comme indiqué par Xi « an, le cdf est la fonction gamma incomplète, et ses valeurs numériques ont été tabulées.
Si lintégration par parties nest pas le but de cet exercice comme suggéré dans le commentaire dElvis, vous voudrez peut-être vérifier si votre professeur veut que vous pensiez à la valeur dune variable aléatoire gamma comme une heure darrivée dans un processus aléatoire de Poisson et résolvez le problème de ce point de vue.
Commentaires
- Existe-t-il une table en ligne pour différentes valeurs de x et alpha? Mon manuel ne contient que des tableaux pour les courbes normales standard et les distributions t. Jai essayé den chercher un mais jai trouvé trop de tables de chi-deux à la place
- Je ne connais ' pas de table en ligne, mais MATLAB calculera les valeurs pour vous , et je suppose que R ou Mathematica ou Wolfram Alpha ou Maple ou … etc feraient de même.