Dans cette réponse, Jim Clay écrit:
… utiliser le fait que $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Lexpression ci-dessus nest pas trop différente de $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Jai essayé pour obtenir la dernière expression en utilisant la définition standard de la transformée de Fourier $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ mais tout Je me retrouve avec une expression si différente de ce qui est apparemment la réponse.
Voici mon travail:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Cest là que je suis coincé.
Réponse
Votre travail est OK sauf pour le problème que la transformée de Fourier de $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nexiste pas dans le sens habituel dune fonction de $ f $, et nous devons étendre la notion pour inclure ce que lon appelle des distributions, ou impulsions, ou deltas de Dirac, ou (comme nous les ingénieurs avons lhabitude de faire, beaucoup le dégoût des mathématiciens) delta fonctions. Découvrez les conditions à remplir pour la transformée de Fourier $ X (f) $ du signal $ x (t) $ pour exister (au sens habituel) et vous verrez que $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ na pas de transformée de Fourier dans le sens habituel.
En ce qui concerne votre question spécifique, une fois que vous comprenez que les impulsions ne sont définies quen fonction de leur comportement comme intégrandes dans une intégrale, cest-à-dire pour $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ à condition que $ g (x) $ soit continu à $ x_0 $, alors il est plus facile de déduire la transformée de Fourier de $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ en réfléchissant sur le fait que $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ et donc ce doit être que $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ est la transformée de Fourier inverse de $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Réponse
Puis utilisez simplement une table de paires de transformées de Fourier pour voir que $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $, et la substitution de variables ($ f_1 = f + f_0 $ et $ f_2 = f-f_0 $), pour obtenir ce dont vous avez besoin.
Commentaires
- Ce qui bien sûr soulève la question de savoir comment la personne qui Jai noté le tableau et jai trouvé la réponse qui se trouve dans le tableau.
- @DilipSarwate 🙂 Maintenant, vous ' posez une question beaucoup plus difficile. 🙂
- Voir ma réponse pour une version de la réponse à la question beaucoup plus difficile qui pourrait passer sur ce stackexchange sinon sur math.SE!
- @DilipSarwate: vous ' jai déjà mon +1. Merci, belle réponse. Daccord, les mecs math.SE seraient consternés. Cest OK, nous ' sommes des ingénieurs. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…