Je veux parcourir la dérivation de la représentation fréquentielle dun train dimpulsions.
La définition de la fonction de train dimpulsions de période $ T $ et de la représentation fréquentielle de fréquence déchantillonnage $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ que je voudrais dériver est:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
En utilisant la représentation exponentielle de la série de Fourier de la fonction dimpulsion et en appliquant la transformée de Fourier à partir de là, on obtient:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Pour aller de là au résultat final, il semblerait que lintégration doit être sur une période de 2 $ \ pi $. Où $ \ Omega = -k \ Omega_s $, lexposant serait $ e ^ 0 $ et sintégrerait à $ 2 \ pi $ et pour les autres valeurs de $ \ Omega $, il y aurait une onde sinusoïdale complète qui sintégrerait à zéro. Cependant, les limites de lintégration sont linfini négatif à linfini positif. Quelquun peut-il expliquer cela? Merci!
Réponse
Vous avez correctement compris que les intégrales qui se produisent ne convergent pas au sens conventionnel. certainement non rigoureuse) pour voir le résultat est de noter la relation de transformation de Fourier
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Par le décalage / propriété de modulation que nous avons
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Donc, chaque terme $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ dans la série de Fourier se transforme en $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, et le résultat suit.
Commentaires
- Cest parfait et bien plus facile que ce que je pensais. Merci beaucoup !!!
- Lautre réponse était également correcte. Jai changé la réponse acceptée.
Réponse
@MattL a suggéré un moyen simple et agréable de voir le résultat ci-dessus.
Mais si vous voulez voir le résultat dans les équations danalyse normales que vous avez mentionnées, vous pouvez faire comme ci-dessous.
Disons que S (t) est un train périodique dimpulsions, donc S (t) peut sécrire
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Maintenant, si vous prenez la série de Fourier de S (t), vous pouvez écrire S (t) comme
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Où $ C_n $ sont des coefficients de série de Fourier exponentiels et $ w_o $ est le fréquence fondamentale.
Donc, à partir dune série de fourier exponentielle, nous savons que
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Maintenant, dans lexpression ci-dessus, remplacez la valeur de S (t) par la première expression.
Donc $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Maintenant, vous devez faire une observation, si vous observez lintégrale, elle va de -T / 2 à + T / 2. Pendant cette période intégrale, observez quil nexiste quune seule impulsion $ \ delta (t) $. Toutes les autres fonctions dimpulsion de la sommation se produisent après T / 2 ou avant -T / 2. Donc, au total, léquation ci-dessus pour $ C_n $ peut être écrite comme
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
À partir de la propriété de tamisage, nous pouvons écrire ce qui précède comme
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Maintenant, mettez cette valeur de $ C_n $ dans la première équation S (t)
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Recherchez maintenant la transformée de Fourier de léquation ci-dessus
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
La transformée de Fourier est donc $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Cela devrait aider.