Description simple de linteraction déchange?

Linteraction déchange est un ajout à dautres interactions entre des particules identiques causées par la symétrie de permutation.

Cet ajout est le résultat dune forme spécifique de multi-particules fonction donde. Il ne donne aucune contribution à lhamiltonien contrairement aux interactions «habituelles» mais apparaît comme un terme supplémentaire dans les équations pour les fonctions donde mono-particules (par exemple léquation de Hartree-Fock).

Interaction généralement associée avec énergie et forces. Nous pourrions trouver la correction déchange comme une force ajoutée aux forces de Coulomb, mais nous devrions dabord comprendre ce quest la force dans le système quantique.

Considérons deux fermions avec des fonctions donde de coordonnées à une seule particule $ \ psi_a ( x) $ et $ \ psi_b (x) $ et fonctions donde de spin $ \ phi_a (s) $ et $ \ phi_b (s) $. Les fonctions donde à deux particules possibles sont des singulets avec une partie de coordonnées symétriques $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ et triplet avec coordonnée antisymétrique part $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$

Que le hamiltonien à deux particules ne dépende pas des spins: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ alors lénergie moyenne de linteraction sera: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$

Le terme $ U_ \ text {ex} $ nest pas nul seulement si les particules sont suffisamment proches les unes des autres et leurs fonctions donde se chevauchent (voir limage ci-dessous). Dans la limite classique, lorsque la distance $ L $ est grande, le chevauchement est nul et $ U_S = U_A = U $

Supposons que $ \ psi_a $ et $ \ psi_b $ ne soient pas négatifs partout et que $ V $ agit comme une interaction de Coulomb (cest-à-dire positive et diminue lorsque la distance augmente). Alors $ U $ et $ U_ \ text { ex} $ sont positifs et lénergie de létat de coordonnées symétriques (épines opposées) est supérieure à lénergie de létat de coordonnées antisymétriques (épines similaires). Si les positions moyennes des particules sont fixes, linteraction déchange mettra les spins dans la même direction.

La force dinteraction entre les particules peut être définie comme la force généralisée correspondant au paramètre L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ Au sein de nos hypothèses concernant $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ et $ V $ les dérivées de $ U $ et $ U_ \ text {ex} $ sont négatives. Par conséquent, la force « habituelle » est positive (répulsion) et la force déchange est positive pour la coordonnée symétrique s tate et négatif pour létat des coordonnées antisymétriques (attraction).

Donc, linteraction déchange pour le cas de deux les particules peuvent être considérées comme une force supplémentaire en fonction de la configuration du spin. Pour les particules multiples, cest plus compliqué.

Commentaires

• Salut, comment comprendre la force effective de linteraction déchange pour Fermion est attrayant? Très contre-intuitif.