Je sais que daprès le principe dincertitude de Heisenberg, il nest pas possible de connaître simultanément les valeurs exactes de la position et de limpulsion dune particule, mais pouvons-nous savoir les valeurs exactes de limpulsion et de la vitesse dune particule simultanément? Je pense que la réponse serait non parce que même si nous étions sûrs à 100% de la position de la particule, nous serions complètement incertains de lélan de la particule, ce qui nous rendrait également complètement incertain de la vitesse de la particule. Quelquun a-t-il un aperçu de cela?
Réponse
Il est assez courant de discuter des deux extrêmes du principe dincertitude, sinusoïde et fonction delta. Lune a une longueur donde parfaitement définie mais pas de position, lautre a une position parfaitement définie mais pas de longueur donde.
Cependant, aucune de ces formes nest terriblement physique pour la fonction donde de position dune particule. Une vraie fonction donde sinusoïdale sétendrait à travers tout lespace, ce qui est absurde pour plusieurs raisons (y compris la présence dautres matières). Une vraie fonction delta serait également susceptible davoir un élan, ce qui violerait probablement la conservation de lénergie. Ainsi, ces deux limites extrêmes sont mathématiquement intéressant, mais pas physiquement pertinent.
Étant donné la question « Le principe dincertitude impose-t-il une certaine limite au moment où la vitesse et la vitesse sont simultanément bien définies? », la réponse est non.
Étant donné la question « Le principe dincertitude minterdit-il de mesurer une seule variable avec une précision infinie? », la réponse est non.
Étant donné la question « Est-ce que quelque chose minterdire de mesurer avec précision infinie? « , la réponse est oui .
Donc, votre question mentionne des » valeurs exactes « , ce qui est très intéressant, épineux matière. (Est-il jamais possible de mesurer une valeur exacte? Comment pourrions-nous faire la différence?) Êtes-vous vraiment curieux de connaître les «valeurs exactes»? Êtes-vous plus curieux de savoir où le principe dincertitude de Heisenberg sapplique et ne sapplique pas? Ou êtes-vous curieux de savoir sil existe dautres limites à notre capacité à mesurer, en plus du principe dincertitude?
Commentaires
- Je ne demandais que parce que il a été demandé lors dun test et jétais curieux de connaître la réponse après avoir passé le test. Je sais que le principe dincertitude traite de lénergie et du temps, puis il traite également de la position et de lélan. Jai donc pensé que si nous mesurions hypothétiquement la position avec une certitude exacte, alors nous serions complètement incertains de sa position, donc complètement incertains de sa vitesse. Tout ce que je voulais savoir, cétait si lincertitude sur la position garantit lincertitude sur la vitesse
- Si nous ignorons les effets relativistes, alors la vitesse et le moment sont directement proportionnels lun à lautre avec la particule ‘ s reste la masse comme constante de proportionnalité, donc si vous en connaissez une exactement, vous obtenez lautre gratuitement.
Réponse
Si, dans votre théorie, lopérateur dimpulsion et lopérateur de vitesse sont proportionnels lun à lautre, alors oui. Connaître la valeur propre de lun signifie connaître les autres. Cest toujours le cas avec nimporte quelle fonction dun opérateur « connu ».
Commentaires
- I ‘ m en physique de base 3 à Georgia Tech en le prenant comme un cours facultatif, donc je nai ‘ pas allé aussi loin. Je ‘ je ne manquerai pas de vérifier cela
Réponse
Les valeurs propres de vitesse de léquation de Dirac sont $ \ pm c $. Ceci est bien connu depuis que léquation a été trouvée; voir le livre de Dirac, « The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed. », Oxford University Press, Oxford 1958, Chapitre XI « Théorie relativiste de lélectron », Section 69, « Le mouvement dun électron libre », page 262 Cétait un fait communément enseigné de la mécanique quantique, mais je comprends les votes négatifs, il est maintenant possible dobtenir un doctorat en physique sans connaître la moindre chose sur le calcul assez élémentaire suivant. En partie comme cela nest plus enseigné, la dérivation a réapparu récemment dans la littérature, par exemple voir: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral oscillations en fonction de leffet zitterbewegung / hep-th / 0701091 , autour de léquation (11).
Nous commençons par noter que la vitesse est la vitesse temporelle de changement de position, et que vous pouvez définir la vitesse temporelle de changement de position en utilisant le commutateur:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Si ce qui précède vous semble magique, lisez lentrée wikipedia sur Théorème de Ehrenfest qui énonce le principe et donne la même situation pour la mécanique quantique non relativiste: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ et donc $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (pour le cas non relativiste) . Ainsi, pour le modèle électronique non relativiste, il est possible de mesurer simultanément la vitesse et le moment; leur constante de proportionnalité est la masse. Mais avec la relativité la proportionnalité ne se produit pas donc la situation est différente.
Pour quun état soit un état propre de vitesse, il faut que:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac a défini lhamiltonien à particules libres comme $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. En notation moderne, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ et $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, tandis que $ p $ est lopérateur de momentum habituel.
Notez que le la seule chose qui ne permute pas avec $ \ hat {x} $ est la composante x de lopérateur momentum, ce qui donne $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Ainsi le ci-dessus se réduit à:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
En utilisant le choix de wikipedia de représentation matricielle gamma, nous avons: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Les valeurs propres sont obtenu en résolvant le polynôme caractéristique . Autrement dit, calculez le déterminant de la matrice et définissez-le sur zéro: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Je laisse cela comme exercice pour que le lecteur montre quil y a deux vraies racines, $ \ pm c $ chacun dordre deux.
Les quatre solutions au problème des valeurs propres de vitesse pour léquation de Dirac correspondent à lélectron et au positron droit et gauche. Autrement dit, les états propres de vitesse de léquation de Dirac sont précisément les états gauche et droit utilisés pour représenter les fermions dans le modèle standard .
Commentaires
- Deux problèmes distincts peuvent être à lorigine de votes négatifs (je nai ‘ pas encore de vote négatif, veuillez corriger). Premièrement, lhamiltonien de Dirac est dans une image discréditée à une seule particule de léquation de Dirac, où x est un opérateur décrivant la position de lélectron. Dans limage de la théorie des champs appropriée, les états proches de Fock ont un moment qui est p et une vitesse qui est p / E dans un paquet dondes, et les deux quantités peuvent avoir des valeurs simultanées (en quelque sorte, parce que les particules ne sont pas locales). Lautre problème est que léquation que vous donnez pour les valeurs propres de vitesse a quatre solutions, (c, -c, ic, -ic).
- En ce qui concerne le problème avec le champ théorie contre QM va, les états propres de vitesse de lélectron sont liés à zitterbewegung (zbw) qui a eu une résurgence récemment en raison de la recherche en physique du solide.Donc, je ‘ ne suis pas sûr quil ‘ soit discrédité, par exemple, voir la discussion de zbw et des états propres de vitesse dans Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Daccord, je ‘ m fixant le calcul des valeurs propres; Jai fait sauter le déterminant.
- Je ne ‘ Je ne pense pas que ‘ est complètement discrédité, il faut juste une discussion — le zbw est une propriété des états du positron se mélangeant aux états des électrons dans limage de la particule unique, cest lélectron qui fait des allers-retours dans le temps dans la description de Feynman. Il est ‘ physique, mais seulement sous la forme de Feynman de la dynamique des particules, pas tellement sous la forme de la théorie des champs. Je suis sûr que cest la raison pour laquelle beaucoup de gens votent automatiquement contre les discussions à particule unique de Dirac eqn. Je ‘ ne pense pas que ce soit un non-sens, il contient beaucoup de physique, mais cela nécessite une discussion approfondie.
Réponse
Largument selon lequel le principe dincertitude de Heisenberg interdit que nous puissions connaître simultanément les valeurs exactes de moment et de vitesse dune particule est déjà discrédité dans lancien manuel de Feynman sur Quantum Electrodynamique.
Deux observables peuvent être déterminés simultanément si les opérateurs font la navette. Pour la vitesse et lélan, les opérateurs commute $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; ils le font même dans la théorie de la fonction donde de Dirac avec ses effets Zitterbewegung.