Disons quen quelque sorte 100 $ (1- \ alpha) \% $ intervalle de confiance de la moyenne de la population $ \ mu $ est connue sous le nom de $ (a, b) $ et le nombre déchantillons est $ n $ . Est-il possible de déduire des estimations ponctuelles de la moyenne et de la variance de la population à partir de ces informations? Dans ce cas, lhypothèse est que la population suit une distribution normale.
Une idée est que parce que lintervalle de confiance de la moyenne de la population peut être calculé si nous connaissons la moyenne de léchantillon $ \ overline {x} $ et la variance de la population $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , nous peut définir $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ et résolvez pour $ \ overline {x} $ et $ \ sigma $ . Certes, dans ce cas, $ \ overline {x} $ peut être traité comme une estimation ponctuelle de la moyenne de la population. Cependant, quen est-il de $ \ sigma ^ {2} $ ? Sagit-il dune «vraie» variance de population ou sagit-il simplement dune «estimation ponctuelle» de la variance de la population? Je ne sais vraiment pas comment $ \ sigma ^ {2} $ doit être interprété dans ce cas.
Answer
Vous pouvez dériver le $ \ bar {x} $ et $ \ sigma ^ 2 $ qui a généré cet intervalle de confiance, oui. Cependant, il est essentiel de connaître la taille de léchantillon et le niveau $ \ alpha $ , et vous ne pouvez pas résoudre le problème sans ces informations.
Le z- basé sur lintervalle de confiance implique une variance connue qui est utilisée dans le calcul de lintervalle de confiance, donc lorsque vous utilisez la largeur pour résoudre la variance, vous résolvez la vraie variance $ \ sigma ^ 2 $ , pas une estimation $ s ^ 2 $ . Si lintervalle de confiance est basé sur t, alors vous résoudriez pour $ s ^ 2 $ .
La largeur dune confiance basée sur z Lintervalle ne dépend pas des données, puisque vous connaissez la variance de la population. Lorsque vous connaissez un paramètre, vous ne vous souciez pas de l’estimer.
Commentaires
- Si j’ai bien compris, la réponse dépendrait si lintervalle de confiance a été dérivé par une méthode basée sur z ou une méthode basée sur t. Merci pour votre réponse.
- Voilà pourquoi nous utilisons des intervalles basés sur z et des intervalles de confiance basés sur t. Si nous connaître la variance de la population, nous ne nous ' pas déranger avec les intervalles de confiance basés sur t, et lintervalle basé sur z a sa largeur déterminée par $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Lorsque nous ne connaissons pas ' la variance de la population (presque toujours), nous estimons la variance de la population de $ s ^ 2 $ et utilisons des intervalles de confiance basés sur t pour tenir compte de lincertitude entourant lestimation (cest-à-dire la prise en compte du fait que notre estimation pourrait être une mauvaise estimation).