Commentaires
- Le temps est infini – cest-à-dire lobjet qui tombe nest jamais exactement aussi rapide que la vitesse terminale. Si vous voulez savoir combien de temps il faut pour arriver à dire 99% de la vitesse terminale, cest une meilleure question!
- @alephzero: Eh bien, dans un scénario plus réaliste où la densité est plus élevée près du sol, un objet tombant suffisamment haut atteindra finalement sa vitesse " terminale " (momentanément, relative à la densité de courant). Et puis sa vitesse diminuera au fur et à mesure que lair se densifie, et lobjet atteindra le sol à une vitesse super-terminale.
- Si un objet a une traînée variable (par exemple, est un parachutiste, ou non une sphère et est en train de culbuter), sa vitesse terminale sera différente selon son orientation. Dans ce scénario, il peut dépasser sa vitesse terminale à certains moments.
- @Ben: Même pour une sphère, la traînée ne sera pas constante car Cd varie généralement avec le nombre de Reynolds, qui diminuera continuellement jusquau terminal la vitesse est atteinte.
Réponse
Un objet qui tombe natteint pas la vitesse terminale; il sapproche asymptotiquement de la vitesse terminale selon la formule $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Ici $ m $ est la masse de lobjet, $ g $ est laccélération due à la gravité, $ \ rho $ est la densité du fluide à travers lequel lobjet est tomber, $ A $ est la surface projetée de lobjet, et $ C_d $ est le coefficient de traînée .
Donc $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ est la vitesse terminale et $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ est l’échelle de temps sur dont la vitesse terminale est approchée selon $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ À $ t = \ tau $ le lobjet est à 76% de la vitesse terminale. À $ t = 2 \ tau $ , lobjet est à 96% de la vitesse terminale. À $ t = 3 \ tau $ , il est à 99,5% de la vitesse terminale.
Commentaires
- Notez que $ \ tanh x \ approx 1 – 2 e ^ {- 2x} $ pour les gros $ x $, donc la différence entre $ v $ et la vitesse terminale diminue approximativement exponentiellement avec le temps. Cela peut être une règle de base utile; si $ v $ est 1% en dessous de $ v_t $ à un moment donné, et 0,5% en dessous de $ v_t $ 10 secondes plus tard, alors $ v $ sera 0,25% en dessous de $ v_t $ 10 secondes après cela.