Explication et compréhension du profane ' des équations de champ dEinstein '

Les équations dEinstein peuvent être sommairement résumées comme la relation principale entre la matière et la géométrie de lespace-temps . Je vais essayer de donner une description qualitative de ce que signifie chaque terme de léquation. Je devrai cependant avertir les lecteurs potentiels que ce ne sera pas une réponse courte. De plus, je vais abstenez-vous dessayer de dériver les équations de manière  » élémentaire « , comme je nen connais certainement pas.

Matière

Sur le côté droit de léqua tion, le plus important est lapparition du tenseur dénergie-momentum $ T _ {\ mu \ nu} $ . Il code exactement comment la matière – comprise dans un sens large, cest-à-dire tout milieu porteur dénergie (ou masse ou impulsion ou pression) – est distribuée dans lunivers. Pour comprendre comment interpréter les indices dindice du $ T $ , consultez mon explication du tenseur métrique ci-dessous.

Il est multiplié par un élément fondamental constantes de la nature $ \ Big ($ le facteur $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ mais cela na pas dimportance cruciale: on peut les considérer comme des outils de comptabilité qui gardent une trace des unités des grandeurs liées par léquation. En fait, les physiciens professionnels prennent généralement la liberté pour redéfinir nos unités de mesure afin de simplifier lapparence de nos expressions en se débarrassant des constantes embêtantes comme celle-ci. Une option particulière serait de choisir  » unités de Planck réduites « , dans lequel 8 $ \ pi G = 1 $ et $ c = 1 $ , de sorte que le facteur devienne $ 1 $ .

Différentiel g eometry

Sur le côté gauche des équations dEinstein, nous trouvons quelques termes différents, qui décrivent ensemble la géométrie de lespace-temps. La relativité générale est une théorie qui utilise le cadre mathématique connu sous le nom de géométrie (semi-) riemannienne . Dans cette branche des mathématiques, on étudie les espaces qui sont en un certain sens lisses , et qui sont équipés dune métrique . Essayons dabord de comprendre ce que signifient ces deux choses.

La propriété de lissage peut être illustrée par lexemple intuitif (et historiquement important!) Dune surface lisse (bidimensionnelle) dans un espace tridimensionnel ordinaire . Imaginez, par exemple, la surface dun ballon de football idéalisé, cest-à-dire une 2 sphères. Maintenant, si lon concentre son attention sur une très petite zone de la surface (tenez la balle contre votre propre visage), il semble que la balle soit à peu près plate. Cependant, ce n’est évidemment pas globalement plat. Sans égard pour la rigueur mathématique, on peut dire que les espaces qui ont cette propriété dapparaître localement plats sont lisses dans un certain sens. Mathématiquement, on les appelle des variétés. Bien sûr, une surface globalement plane telle quune feuille de papier infinie est lexemple le plus simple dun tel espace.

En géométrie riemannienne (et géométrie différentielle plus généralement) on étudie de tels espaces lisses (variétés) de dimension arbitraire. Il est important de se rendre compte qu’ils peuvent être étudiés sans les imaginer intégrés dans un espace de plus grande dimension, c’est-à-dire sans la visualisation que nous avons pu utiliser avec le football, ou toute autre référence à peut ou non être  » en dehors de  » lespace lui-même.On dit que lon peut les étudier, et leur géométrie, intrinsèquement .

La métrique

Quand il sagit détudier intrinsèquement la géométrie des variétés, le principal lobjet détude est la métrique (tenseur). Les physiciens le désignent généralement par $ g _ {\ mu \ nu} $ . Dans un certain sens, il nous donne une notion de distance sur la variété. Considérons une variété bidimensionnelle avec métrique, et mettez une  » grille de coordonnées  » dessus, cest-à-dire assignez à chaque point un ensemble de deux nombres, $ (x, y) $ . Ensuite, la métrique peut être considérée comme une matrice $ 2 \ times 2 $ avec $ 2 ^ 2 = 4 $ entrées. Ces entrées sont étiquetées par les indices $ \ mu, \ nu $ , qui peuvent chacun être choisis égal à $ x $ ou $ y $ . La métrique peut alors être comprise comme un simple tableau de nombres:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Nous devrions aussi disons que la métrique est définie de telle sorte que $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , cest-à-dire quelle est symétrique par rapport à ses indices. Cela implique que, dans notre exemple, $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Maintenant, considérons deux points proches, tels que la différence de coordonnées entre les deux soit $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Nous pouvons le désigner en notation abrégée par $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ où $ \ mu $ est soit $ x $ , soit $ y \;, $ et $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ et $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Ensuite, nous définissons le carré de la distance entre les deux points, appelé $ \ mathrm {d} s \;, $ as

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Pour avoir une idée de la façon dont cela fonctionne dans la pratique, examinons deux infinis- espace plat dimensionnel (c.-à-d. feuille de papier susmentionnée), avec deux coordonnées planes  » standard  » $ x, y $ défini dessus par une grille carrée. Ensuite, nous savons tous daprès le « théorème de Pythagore » que

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Cela montre que, dans ce cas, la métrique naturelle sur un espace plat à deux dimensions est donnée par

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Maintenant que nous savons comment  » mesurer  » les distances entre les points à proximité , nous pouvons utiliser une technique typique de la physique de base et intégrer de petits segments pour obtenir la distance entre les points qui sont ensuite supprimés:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Le ge La néralisation vers des dimensions plus élevées est simple.

Tenseurs de courbure

Comme jai essayé de lexpliquer ci-dessus, le tenseur métrique définit la géométrie de notre variété (ou espace-temps, dans le cas physique) . En particulier, nous devrions pouvoir en extraire toutes les informations pertinentes sur la courbure de la variété. Cela se fait en construisant le tenseur de Riemann (courbure) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , qui est un objet très compliqué qui peut, par analogie avec la visualisation de tableau de la métrique, être considéré comme un tableau à quatre dimensions, chaque index pouvant prendre $ N $ valeurs sil y a $ N $ coordonnées $ \ { x ^ 1, \ points x ^ N \} $ sur la variété (cest-à-dire si nous « avons affaire à un espace $ N $ ). Il est défini purement en termes de métrique dune manière compliquée qui nest pas trop importante pour linstant.Ce tenseur contient à peu près toutes les informations sur la courbure de la variété – et bien plus que nous les physiciens ne nous intéressons généralement. Cependant, il est parfois utile de bien regarder le tenseur de Riemann si on veut vraiment savoir ce qui se passe.Par exemple, un tenseur de Riemann disparaissant partout ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garantit que lespace-temps est plat. Un cas célèbre où une telle chose est utile est la métrique Schwarzschild décrivant un trou noir, qui semble être singulier au rayon de Schwarzschild $ r = r_s \ neq 0 $ . En examinant le tenseur de Riemann, il devient évident que la courbure est ici finie, donc on a affaire à une singularité coordonnée plutôt qu’à un  » réel  » Singularité gravitationnelle.

En prenant certaines  » parties de  » le tenseur de Riemann, on peut écarter certaines des informations quil contient en échange de navoir à traiter quavec un objet plus simple, le tenseur de Ricci:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Cest lun des tenseurs qui apparaît dans les équations du champ dEinstein. le deuxième terme des équations présente le scalaire $ R $ de Ricci, qui est défini par contracter ( un mot fantaisiste pour  » sommant toutes les valeurs dindex possibles de certains indices « ) le tenseur de Ricci, cette fois avec linverse métrique $ g ^ {\ mu \ nu} $ qui peut être construite à partir de la métrique habituelle par léquation

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {et} 0 \ \ text {sinon} $$

Comme promis, le scalaire de Ricci est la contraction du tenseur de Ricci et inverse métrique:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Bien sûr, le scalaire de Ricci contient encore une fois moins dinformations que le tenseur de Ricci, mais cest encore plus facile à manipuler . Il suffit de le multiplier par $ g _ {\ mu \ nu} $ donne à nouveau un tableau à deux dimensions, tout comme $ R _ {\ mu \ nu} $ et $ T _ {\ mu \ nu} $ sont. La combinaison particulière de tenseurs de courbure qui apparaît dans les équations du champ dEinstein est connue sous le nom de tenseur dEinstein

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

La constante cosmologique

Il y a un terme que nous avons laissé de côté jusquà présent: le terme de constante cosmologique $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Comme son nom lindique, $ \ Lambda $ est simplement une constante qui multiplie la métrique. Ce terme est parfois mis de lautre côté de léquation, car $ \ Lambda $ peut être vu comme une sorte de  » contenu énergétique  » de lunivers, qui peut être regroupé de manière plus appropriée avec le reste de la matière codifiée par $ T _ {\ mu \ nu} $ .

La constante cosmologique est principalement intéressante car elle fournit une explication possible de la (in) fameuse énergie noire qui semble expliquer certains observations cosmologiques importantes. La question de savoir si la constante cosmologique est vraiment non nulle dans notre univers est une question ouverte, comme lexplique la valeur que les observations suggèrent (le soi-disant problème de la constante cosmologique aka  » la pire prédiction de physique théorique jamais faite « , lun de mes intérêts personnels).

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PS. Comme indiqué dans les commentaires, si cela vous a plu, vous pouvez également lire cette question et les réponses, qui répondent à l’autre importante équation de relativité générale, qui décrit le mouvement des  » particules de test  » dans des espaces-temps courbes.

Léquation dEinstein relie le contenu de la matière (côté droit de léquation) à la géométrie (côté gauche) Cela peut se résumer par « la masse crée la géométrie, et la géométrie agit comme la masse ».

Pour plus de détails, considérons ce quest un tenseur. Un tenseur à deux indices (qui est ce que nous avons dans léquation dEinstein), peut être considéré comme une carte qui prend un vecteur dans un autre vecteur. Par exemple, le tenseur énergie-contrainte prend un vecteur de position et renvoie un vecteur de moment. (mathématiquement, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, et je « m mélange des vecteurs et des co-vecteurs partout pour simplifier la discussion). Linterprétation est que le côté droit de léquation dEinstein nous indique la quantité de mouvement qui passe à travers une surface définie par le vecteur de position.

Le côté gauche peut également être interprété de cette manière. La courbure de Ricci $ R _ {\ mu \ nu} $ prend un vecteur de position et renvoie un vecteur nous indiquant à quel point la courbure change à travers la surface définie par $ \ vec {x} $. Les deuxième et troisième termes, tous deux ayant des facteurs de la métrique $ g _ {\ mu \ nu} $, nous indiquent combien les mesures de distance sont modifiées lors du déplacement le long du vecteur. Il y a deux contributions à ce changement de distance – la courbure scalaire $ R $ et la $ \ Lambda $. Si $ R _ {\ mu \ nu} $ est « courbure dans une seule direction », alors $ R $ est la « courbure totale ». $ \ Lambda $ est une constante qui nous indique la quantité dénergie innée de lespace vide, augmentant ainsi toutes les distances pour $ \ Lambda > 0 $.

Donc , en lisant léquation de droite à gauche, léquation dEinstein nous dit que lélan (masse en mouvement) provoque à la fois une courbure et un changement dans la façon dont les distances sont mesurées. »En lisant de gauche à droite, léquation dEinstein nous dit que la courbure et le changement la distance agit exactement comme une masse en mouvement. « 

Commentaires

• Wow – excellente explication simplifiée.
• @levitopher Pourquoi ça ‘ est appelé  » stress  » en stress-énergie?
• Il était-ce OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Pas à pas de dérivation des équations de champ Einstein (EFE) sur mon blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Signification de lEFE (par Wheeler): « Lespace-temps indique à la matière comment se déplacer, la matière-énergie indique à lespace-temps comment se courber »

Mots simples pour EFE: « Geometry » = « Curvature » (pas de torsion en Relativité Générale implique que lénergie-impulsion est symétrique, comme cela se voit dans le cas de la métrique, du tenseur de Ricci et du tenseur dEinstein).

Une signification plus sérieuse est la suivante:

– Côté gauche: Le tenseur dEinstein est composé de deux (trois si vous comptez le terme cosmologique) morceaux. Ils mesurent la courbure causée par une métrique despace-temps local nétant pas constante (la métrique de Minkowski est un espace-temps plat, la gravité activée implique que la métrique est un champ, cest-à-dire dépendante des coordonnées spatio-temporelles locales), et cela implique une courbure locale mesuré par le scalaire de courbure et le tenseur de Ricci, qui, combinés à la manière dEinstein (et Hilbert), fournit un courant sans divergence (cest-à-dire, conservation de lénergie-impulsion en équivalant au côté droit).

-Côté droit: énergie-impulsion des champs, provoquant une déformation de lespace-temps / courbe / pli. Vous pouvez ajouter de ce côté le terme cosmologique, alors surnommé énergie noire … Cela donne que lénergie noire est en quelque sorte (avec un peu de soin) lénergie de lespace-temps du vide. Et nous pensons que ce nest pas seulement non-nul mais le principal ingrédient cosmique qui fait lénergie-matière pour le moment (environ 70%, les satellites WMAP + PLANCK semblent être daccord avec cela …).