Donc, dans $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $, nous avons le produit interne de Frobenius donné par $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
qui peut être interprété comme le produit intérieur euclidien sur $ {\ bf R} ^ {np } $. Je crois comprendre que tous les produits internes sur $ {\ bf R} ^ {np} $ peuvent être écrits sous la forme $$ a ^ TPb $$ pour $ P $ positif-défini. Le mieux que je puisse faire en essayant détendre le produit interne de Frobenius sur $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ est quelque chose de la forme $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ pour $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ et $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ tout le rang complet. Cependant, jaimerais savoir si cela couvre tous les produits internes sur $ {\ bf R} ^ {np} $, ou si cest peut-être plus complexe que nécessaire en raison de redondances.
Je peux trouver le matrice $ P $ correspondante pour tout produit interne de matrice spécifique en prenant la base standard pour $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ et en formant la matrice
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
mais je ne sais pas si la forme générale dun produit interne de matrice que jai donné ci-dessus couvre toutes les matrices définies positivement $ P $.
Mise à jour:
nouvelle version de cette question sur MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Commentaires
- Bienvenue sur SciComp.SE! Cest une question intéressante, mais qui semble beaucoup plus appropriée pour math.stackexchange.com . (Sauf si ‘ une connexion à un problème de science informatique je ‘ m manquant, auquel cas il ‘ ce serait génial si vous pouviez ajouter cela.)
- @ChristianClason, il ‘ est lié à loptimisation sur des variétés matricielles avec des métriques riemanniennes, depuis Riemannian les métriques sont des produits internes sur lespace tangent. Il est ‘ presque certainement trop avancé pour Math.SE, le seul autre endroit approprié serait MathOverflow. En fait, jai peut-être trouvé ce que je pense être une solution que je pourrais poster comme réponse une fois que jaurai fait le travail compliqué de prouver que cest une solution, mais si vous ‘ souhaitez migrer ceci à MathOverflow Je ‘ je suis daccord avec cela. Jajouterai ‘ le contexte doptimisation lorsque jen aurai loccasion.
- La matrice $ P $ doit également être symétrique, pas seulement définie positive.
- @WolfgangBangerth, défini positif signifie symétrique.
- Pour tous les auteurs, la définition positive nimplique pas la symétrie.
Réponse
Vous pouvez voir un produit interne comme une opération $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, cest-à-dire que cest une fonction bilinéaire qui (i) renvoie un nombre non négatif, (ii) satisfait la relation $ f (a, b) = f (b, a) $.
Pour les vecteurs $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $, toutes les fonctions bilinéaires qui satisfont ces propriétés peuvent être écrites comme $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ où $ P $ est symétrique et défini positif. Pour les matrices $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ fois p} $, toutes ces fonctions peuvent être écrites comme $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ où maintenant $ P $ est un tenseur de rang 4 symétrique au sens où $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ et défini positif dans le sens où $ f (a, a) > 0 $ pour tout $ a \ neq 0 $.
Votre question se résume à si chaque $ P $ qui satisfait de telles conditions peut être écrit sous une forme qui résulte des vecteurs $ X_i, Y_i $. Je pense que la réponse est non. Cest simplement le cas parce que le (pour simplifier en supposant $ n = p $) symétrique $ P $ a (asymptotiquement) $ n ^ 4/2 $ degrés de liberté, alors que les $ n $ vecteurs $ X_i, Y_i $ nont que $ 2n ^ 2 $ degrés de liberté. En dautres termes, je ne pense pas que pour des $ n $ suffisamment grands, votre approche a suffisamment de degrés de liberté.
Commentaires
- I Je crois en fait que la réponse est oui, je ‘ vais republier cette question sur le débordement mathématique avec mes résultats mis à jour.
- Oui, votre argument selon lequel le nombre de paramètres augmente quartique dans lespace produit intérieur vectoriel alors que seulement quadratiquement dans lespace produit intérieur matrice est convaincant, cependant puisque lespace est finalement fini, nous devrions être en mesure de surmonter cela en augmentant $ N $ de manière appropriée.
- Mes excuses, jai posté une version plus récente de cette question sur MathOverflow, cependant elle ‘ est suffisamment mise à jour jai pensé que approprié, voici le lien au cas où vous voudriez pour transférer votre réponse là-bas ou mettre à jour votre réponse en fonction de la version la plus récente. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Notez que @ ChristianClason a conseillé vous pouvez poser votre question sur math.stackexchange.com, pas sur mathoverflow.net. Ce sont deux sites différents avec des objectifs et des publics différents.
- @FedericoPoloni oui je sais, et si vous lisez ce que jai écrit, je lui ai dit que je pensais que cétait trop avancé pour Math.SE et quil serait peu probable que cela devienne une réponse ici.