Quelle est la forme la plus générale de léquation donde? Est-ce $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Par exemple, $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ être une équation donde? Si oui, quelle est la solution dans ce cas.
Réponse
Je ne sais pas ce que vous entendez par $ cte $ , mais je suppose que c’est une constante mais j’interprète peut-être mal
Nous parlons souvent de deux classes d’équations différentielles, homogènes et inhomogènes. Cette distinction est à la base de votre question, \ begin {équation } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {équation} est la forme homogène de léquation donde, alors que \ begin {équation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation} est léquation donde inhomogène ($ u (\ vec {r}, t) $ peut aussi être constant si on veut). Un exemple est que le rayonnement électromagnétique en présence de charges et de courants est régi par léquation donde inhomogène, la forme homogène nest valable que lorsque $ \ rho = 0 $ et $ \ vec {J} = 0 $. En fonction de qui vous demandez, je pense que la plupart des gens diraient toujours le inhom Léquation donde ogène est une équation donde, mais cest à goûter car ses solutions peuvent finir par avoir un caractère très différent de celles homogènes.
En général, je ne peux pas dire grand-chose à propos de ces solutions car elles « dépendront fortement de la forme de $ u $, même si je » suis sûr que certains googlages vous donneront de nombreux exemples.
Commentaires
- Parfait. Et quen est-il de léquation donde amortie? Quelle est sa forme?
Réponse
Mason a fait la distinction entre les équations différentielles inhomogènes et homogènes, mais si une parle de la forme la plus générale possible de léquation donde, cest,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
où les deux champs sont des tenseurs de rang $ (m, n) $, agis par lopérateur de Laplace-Beltrami $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ dont laction sur les tenseurs dépend à la fois de la métrique et de leur rang. Pour un champ scalaire de métrique $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, il se réduit à la forme la plus familière de léquation donde, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Ce qui précède peut également être refondu dans le langage des formes différentielles.)
Cependant, dune certaine manière, cela ne couvre pas toutes les possibilités. Par exemple, en relativité générale, pour une perturbation $ h_ {ab} $ de la métrique, le premier changement dordre dans la courbure est,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
qui est compris comme «opérateur donde» despace courbe dans la littérature car il admet certainement des solutions donde mais nest clairement pas équivalent à léquation donde ci-dessus car il contient dautres termes impliquant des tenseurs de courbure. Ainsi, la « forme la plus générale » de léquation donde nest pas quelque chose que nous pouvons vraiment écrire, à moins que votre idée ne soit strictement $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
