Cette question est peut-être un peu paresseuse, mais quelquun peut-il me donner une preuve de la formule de Hill Sphere? Selon wikipedia , la formule du rayon, $ r $, est
$$ r \ approx a (1-e) \ left (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
où un corps de masse $ m $ est en orbite autour dun corps de masse beaucoup plus massif $ M $ avec a demi-grand axe $ a $ et excentricité $ e $.
Commentaires
- Regardez lintroduction dans cet article .
- Placer une masse dessai entre deux masses, supposer que lorigine est dans la masse la plus grande et calculer où les magnitudes des deux forces sont égales?
- @Dave que ‘ est un papier assez cool (jai ‘ prévu de faire quelque chose aujourdhui, mais maintenant …), et Je suis sûr que ‘ sy trouve; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ et » lunité de longueur est mise à léchelle par le facteur µ $ {} ^ { 1/3} $ » mais je ne ‘ voir comment obtenir le (1- e ) à lavant si facilement.
- Parce quun (1-e) est un périastron?
- Il semble quils ‘ ont en fait ajouté une dérivation à la page wikipedia – il est intéressant de noter que ce qui nest pas mentionné sur la page wikipedia est que cette surface nest pas sphérique, elle fait référence au moment où une particule sur laxe est perdue (au moins au cours dun seul événement – plusieurs événements non résonnants finissent par enlever tout le matériel du rayon de Hill quittant une sphère)
Réponse
La sphère de Hill est définie légèrement différemment du lobe de Roche , mais le rayon est approximé par la distance aux points de Lagrange L 1 et L 2 .
Pour un mouvement circulaire avec une vitesse angulaire $ \ omega $ autour de lorigine, nous avons:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Laccélération due à la gravité dune masse ponctuelle sur une autre masse à la position $ \ mathbf {r} $ est donné par la loi carrée inverse habituelle:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Considérons maintenant un système à deux corps avec des masses $ m_1 $ et $ m_2 $ , séparés par une distance $ r $ en orbite autour de leur centre de masse commun (com) à des distances $ r_1 $ et $ r_2 $ respectivement.
> 1 < / sub >
Cest un système unidimensionnel, donc nous pouvons passer des vecteurs aux scalaires. Daprès la définition du centre de gravité, nous avons:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Pour lorbite de $ m_2 $ autour du centre de masse, assimiler laccélération gravitationnelle à laccélération requise pour un mouvement circulaire donne:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Et puis en exprimant $ r_2 $ en termes de $ r_1 $ donne la troisième loi de Kepler:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Ensuite, nous trouvons le distance au point L 1 , où les forces gravitationnelles du primaire et du secondaire se combinent pour fournir l’accélération requise pour le mouvement circulaire.Assimiler laccélération du mouvement circulaire avec les forces gravitationnelles donne:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Et en remplaçant $ \ omega $ donne:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ droite)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ gauche (r – h \ droite) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Réécrivez ensuite ceci en termes de rapport de masse $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ et de distance relative $ z = \ frac {h} {r} $ , donnant:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Cela donne un équation quintique pour $ z $ , qui doit être résolue numériquement car les quintiques générales nont pas de solutions algébriques (je « m non Je vais faire semblant de comprendre la preuve de cela ).
À condition que nous soyons dans une situation où $ m_1 \ gg m_2 $ , qui est une bonne approximation pour les planètes du système solaire, nous pouvons faire des approximations pour éviter de résoudre la quintique. Dans ce cas, la sphère de Hill est beaucoup plus petite que la séparation entre les deux objets, ce qui signifie que nous pouvons approximer:
$$ \ begin {viewed} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {aligné} $$
Où la deuxième ligne est l approximation binomiale . Cela donne:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Réorganiser à résoudre pour $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Et puis en utilisant les définitions de $ z $ et $ q $ cela devient
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Quelle est la formule habituelle pour la taille de la sphère Hill.
Pour L 2 , le point de Lagrange est situé au-delà du secondaire, donc léquation de la force gravitationnelle et du mouvement circulaire devient:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h « \ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h » \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h « ^ 2} $$
Où $ h « $ est la distance entre le secondaire et le point L 2 .
Remplacer dans $ \ o mega $ et réécriture en termes de $ q $ et $ z « = \ frac {h »} { r} $ donne:
$$ 1 + z « \ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z » \ right ) ^ {- 2} + qz « ^ {- 2} $$
Encore une fois, cela donne une équation quintique pour $ z » $ , mais nous pouvons faire des approximations similaires au cas de L 1 :
$$ \ begin {aligné} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z « \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z « \ end {aligné} $$
Cela donne:
$$ 1 + z » \ approx 1 – 2z » + qz « ^ {- 2} $$
Simplification et remplacement des variables à nouveau:
$$ h » \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Cela fonctionne pour les orbites circulaires. Pour les orbites excentriques, lapproche habituelle consiste simplement à remplacer la distance $ r $ par la distance péricentre $ a \ left (1 – e \ right) $ où $ a $ est le demi-grand axe. Une approche plus rigoureuse consisterait à utiliser la vitesse angulaire au péricentre et à en dériver, mais je laisserai cela comme exercice pour le lecteur intéressé 🙂
Commentaires
-
+1Don ‘ t oublier le quod erat démonstrandum !
Réponse
La sphère de la colline porte le nom de John William Hill (1812–1879) et sa logique simple découle de la présence de trois corps (supposons que le Soleil est la plus grande masse avec la Terre comme masse secondaire et un satellite de masse négligeable en orbite autour de la Terre comme troisième masse), où le rayon de la sphère de Hill sera le plus grand rayon auquel un satellite pourrait orbiter la masse secondaire (la Terre dans ce cas). Si son orbite dépasse le rayon des collines, alors il tombera sous linfluence gravitationnelle du premier corps (soleil) et ne sera donc plus un satellite du corps secondaire.
On pourrait écrire les équations de Newton en utilisant lidée que le satellite a la même vitesse angulaire que lobjet secondaire.Cest que, la vitesse angulaire de la Terre autour du soleil est égale à la vitesse angulaire du satellite autour du soleil. Une démonstration de la dérivation est donnée dans le lien suivant ainsi que celui de la limite Roche: