Le principe de Hamilton ' s

Les notes de la semaine 1 de Le cours de John Baez en mécanique lagrangienne donne un aperçu des motivations des principes daction.

Lidée est que la moindre action pourrait être considérée comme une extension du principe du travail virtuel. Lorsquun objet est en équilibre, il ne faut aucun travail pour faire un petit déplacement arbitraire sur lui, i. e. le produit scalaire de tout petit vecteur de déplacement et la force est nulle (dans ce cas parce que la force elle-même est nulle).

Lorsquun objet accélère, si lon ajoute une « force dinertie » égale à $ \, – ma \, $ , alors un petit déplacement arbitraire dépendant du temps par rapport à la trajectoire réelle des objets aurait à nouveau un produit scalaire nul avec $ \, F-ma, \, $ la force réelle et la force dinertie ajoutées. Cela donne

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

De là, quelques calculs trouvés dans les notes mènent à lintégrale daction stationnaire.

Baez discute D « Alembert plus que Hamilton, mais de toute façon cest un regard intéressant sur les origines de lidée.

Commentaires

• Notez que le principe du travail virtuel sappelle D ‘ Principe dAlembert: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Il y a aussi lapproche de Feynman, cest-à-dire que la moindre action est vraie classiquement simplement parce quelle est vraie mécaniquement quantique, et la physique classique est mieux considérée comme une approximation de lapproche quantique sous-jacente. Voir http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html ou http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.

En gros, tout est résumé en un mot dans R ichard P. Feynman, Les conférences Feynman sur la physique (Addison-Wesley, Reading, MA, 1964), Vol. II, chap. 19. (Je pense, corrigez-moi si je me trompe ici.) Lidée fondamentale est que lintégrale daction définit lamplitude de la mécanique quantique pour la position de la particule, et lamplitude est stable aux effets dinterférence (-> a probabilité doccurrence non nulle) uniquement aux points extrema ou en selle de lintégrale daction. La particule explore vraiment tous les chemins alternatifs de manière probabiliste.

Vous voudrez probablement lire les conférences de Feynman sur la physique de toute façon, alors vous pourriez aussi bien commencez maintenant. 🙂

Commentaires

• Feynman ‘ s Les cours de physique sont bons, mais il vaut mieux les lire après avoir correctement appris le sujet, afin de fournir un aperçu nouveau / supplémentaire, je pense.

Comme vous pouvez le voir sur limage ci-dessous, vous voulez que la variation de lintégrale daction soit un minimum, donc $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ doit être $ 0 $. Sinon, vous ne prenez pas le vrai chemin entre $ q_ {t_ {1}} $ et $ q_ {t_ {2}} $ mais un chemin légèrement plus long. Cependant, même en suivant $ \ delta S = 0 $, comme vous le savez, vous pourriez vous retrouver avec un autre extremum.

En suivant le lien de jc, vous pouvez trouver Sur une méthode générale sur la dynamique , qui répond probablement à votre question concernant le raisonnement de Hamilton. Je nai pas lu mais presque sûrement cela en vaut la peine.

Commentaires

• Cela semble être une réponse tautologique car il sagit précisément de Hamilton ‘ qui est utilisé pour arriver à limage ci-dessus en premier lieu.
• Peut-être que vous avez appris le principe de Hamilton ‘ et que vous êtes arrivé à cela image comme explication, mais limage est parfaitement générale. Il décrit la variation dune fonction avec des extrémités fixes.

Je raconte généralement que le principe daction est une autre façon dobtenir les mêmes équations différentielles – donc au niveau de la mécanique, les deux sont équivalents. Cependant, en ce qui concerne la théorie quantique des champs, la description en termes dintégrales de chemin sur laction exponentielle est essentielle lorsque lon considère les effets dinstanton. Donc, finalement, on trouve que la formulation en termes dactions est plus fondamentale, et plus saine physiquement.

Mais encore, les gens nont pas un « sentiment » pour laction comme ils ont un sentiment pour lénergie.

Rappelons que les équations de mouvement avec initiale conditions $ q (0), (dq / dt) (0) $ ont été avancés en premier et le principe de la moindre action a été formulé plus tard, sous forme de séquence. Bien que beau et élégant mathématiquement, le Le principe de la moindre action utilise une condition future, « aux limites » $ q (t_2) $, qui est physiquement inconnue. Il ny a pas de principe de moindre action fonctionnant uniquement avec les conditions initiales.

De plus, il est implicite que le les équations ont des solutions physiques. Il en est ainsi en mécanique classique, mais cest faux en électrodynamique classique. Ainsi, même dérivées dun «principe» formellement correct, les équations peuvent être erronées au niveau physique et mathématique. respect, la formulation des bonnes équations physiques est une tâche plus fondamentale pour les physiciens que de sappuyer sur un «principe» dobtention déquations «automatiquement». Ce sont nous, physiciens, qui sommes responsables de la formulation correcte des équations.

Dans CED, QED et QFT, il faut « réparer en cours de route » les mauvaises solutions simplement parce que la physique a été devinée et initialement mal implémentée.

PS Je voudrais montrer comment en réalité le système « choisit » sa trajectoire: si à $ t = 0 $ la particule a une impulsion $ p (t) $, alors à la prochaine fois $ t + dt $ elle a lélan $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Cet incrément est assez local dans le temps, il est déterminé par la valeur de force actuelle $ F (t) $ donc aucune condition « limite » future ne peut le déterminer. La trajectoire nest pas « choisie » parmi celles virtuelles; il est « dessiné » par les valeurs instantanées de force, coordonnée et vitesse.

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• Jaime penser que les deux options sont simplement mathématiques modèles et donc aucun nest plus réel. Ni le système ne choisit sa trajectoire ni lavenir ne détermine le moindre chemin daction. La non-localité de QM conduit à des doutes similaires.
• Étonnamment, il y a maintenant un principe de moindre action fonctionnant uniquement avec les conditions initiales! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Voici un version arXiv . Sans lire larticle en détail, cela sent le formalisme classique de Keldysh , cf. ceci et ce posts Phys.SE.

Au lieu de spécifier la position initiale et lélan comme nous lavons fait dans le formalisme de Newton, reformulons notre question comme suit:

Si nous choisissons de spécifier les positions initiale et finale: $ \ textbf {Quel chemin prend la particule?} $

Let » s affirment que nous pouvons retrouver le formalisme de Newton par le formalisme suivant, dit formalisme lagrangien ou principe hamiltonien.

A chaque chemin illustré sur la figure ci-dessus, nous attribuons un nombre que nous appelons laction

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

où cet intégrande est la différence entre lénergie cinétique et lénergie potentielle.

$ \ textbf {Les revendications du principe de Hamilton} $: Le vrai chemin emprunté par la particule est un extremum de S.

$ \ textbf {Preuve:} $

1.Modifiez légèrement le chemin:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Gardez les extrémités du chemin fixes :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3.Prends la variation de laction $ S $:

enfin, vous obtiendrez

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

La condition avec laquelle le chemin que nous avons commencé est un extremum de laction est

$$ \ delta S = 0 $$

qui devrait tenir pour tous les changements $ \ delta \ vec {r} (t) $ que nous apportons au chemin. La seule façon que cela puisse arriver est si lexpression dans $ [\ cdots] $ est nulle.Cela signifie

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Nous reconnaissons maintenant cela comme $ \ textbf {équations de Newton} $. Exiger que laction soit extrémisée équivaut à exiger que le chemin obéisse aux équations de Newton.

Pour plus de détails, vous pouvez lire cette conférence au format PDF.

Jespère que cela aide.

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• Si nous voyons une particule contrainte de se déplacer sur une sphère, nous obtenons des chemins lun est un maximum ou un minimum. Je sens quune particule suit le chemin de la moindre action, mais léquation mathématique δS = 0 nous donne une réponse ambiguë, mais une certaine partie de cette réponse contient un chemin de moindre action. Vous pouvez voir Arfken et Weber.