Lénigme Frog – Probabilités conditionnelles

Regardons la paire de grenouilles. Les grenouilles mâles sont identifiées par des croassements dans la vidéo.

Comme expliqué dans la vidéo, avant dentendre des croassements, il y a 4 résultats tout aussi probables pour 2 grenouilles:

• La grenouille 1 est un mâle, la grenouille 2 est un mâle
• La grenouille 1 est une femelle, la grenouille 2 est un mâle
• La grenouille 1 est un mâle, la grenouille 2 est Femelle
• La grenouille 1 est la femelle, la grenouille 2 est la femelle

En supposant que les hommes et les femmes se produisent de manière égale et indépendante, notre espace déchantillonnage est $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, et nous avons une probabilité $ 1/4 $ pour chaque élément.

Maintenant, une fois que nous entendons le croassement venant de ce couple, on sait quau moins une grenouille est mâle. Ainsi lévénement $ (F, F) $ est impossible. On a alors un nouvel espace échantillon réduit induit par cette condition: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Chaque possibilité restante est toujours également probable, et le probabili ty de tous les événements ajoutés ensemble doit être de 1 $. Donc la probabilité de chacun de ces trois événements dans le nouvel espace déchantillonnage doit être de $ 1/3 $.

Le seul événement qui se termine mal pour nous est $ (M, M) $, donc il y a un $ 2 / 3 $ chance de survie.

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Plus formellement, la définition de la probabilité conditionnelle dit:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Donc si $ A $ est lévénement où au moins une femme est présente et $ B $ est lévénement où au moins un homme est présent, nous avons: \ begin {align} P (\ text {F donné au moins 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F et au moins 1 homme})} {P (\ text {at au moins 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M et 1 F})} {P (\ text {1 M ou 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Ceci est vraiment la même procédure que nous avons raisonnée ci-dessus.

Commentaires

• Bonjour mb7744, merci pour la réponse rapide. Je comprends la réponse telle quelle est présentée, mais cela me semble être un double comptage, cest pourquoi jai ‘ me battre pour accepter la réponse. (M, F) = (F, M), sûrement, et sinon, pourquoi?
• (M, F) et (F, M) ne sont pas le même événement. Si une grenouille sappelle Alex et lautre grenouille sappelle Taylor, Alex pourrait être la femelle et Taylor le mâle OU vice versa. Alex et Taylor seraient probablement en désaccord sur le fait que cette distinction na pas de sens. Maintenant, vous pouvez voir les deux événements comme équivalents.Cependant, vos trois résultats (M, M), (F, F) et (M, F) ne sont pas également probables. Lappariement mixte est deux fois plus probable. Cest la même raison pour laquelle vous êtes beaucoup plus susceptible de lancer un 7 sur une paire de dés quun 2, même si vous considérez toutes les différentes façons de lancer le 7 comme équivalentes.
• Bonjour, je pense cela aide à clarifier où je ‘ m pas ‘ obtenir ‘ lénigme. Si je peux reformuler le problème comme je ‘ le voir, remplacez grenouille par un tirage au sort (ou un jet de dés). Si vous deviez retourner deux pièces et exclure certaines combinaisons, jaccepterais complètement la réponse. Dans lanalogie de lénigme ‘ cependant, je lis ceci car nous nobtenons quun seul tirage au sort. Lautre a déjà été fait et ne peut pas changer le résultat de lautre. Ne sachant pas lequel des deux résultats a déjà été déterminé, ‘ t ne nous permet pas de retourner deux pièces et de choisir les résultats à inclure ou à exclure. Donc, en utilisant lanalogie du lancer de dés …..
• … vous pouvez lancer deux dés, mais à votre insu, un dé ‘ a déjà été décidé. Vous navez que 1/6 de chances de faire un nombre 7-12. Est-ce que je me trompe ici?
• Si nous examinons toutes les paires de résultats également probables lors du lancer de dés, l’ordre est important . Imaginez un dé est bleu et lautre rouge, et nous écrivons nos résultats avec le dé bleu en premier et le dé rouge en dernier. Alors le résultat (1,2) nest pas le même que le résultat (2,1). Et, comme précédemment, la probabilité dobtenir un  » 1 et un 2, quel que soit lordre  » sera deux fois plus élevée que, disons , roulant une paire de 2. Pour votre dernière question, je suppose que vous vouliez dire que le résultat dun dé ‘ a été décidé à 6 . Dans ce cas, vous avez raison.

Puisque le calcul est déjà présenté, je vais essayer de fournir une certaine intuition. Le problème est que savoir qu’au moins une grenouille est un homme est différent de savoir qu’une grenouille particulière est un homme. Le premier cas contient moins d’informations, ce qui augmente effectivement nos chances sur la seconde situation .

Appelez les grenouilles à gauche et à droite, et supposons quon nous dise que la grenouille de droite est un homme. Ensuite, nous avons éliminé deux événements possibles de lespace déchantillonnage: lévénement où les deux les grenouilles sont des femmes et lévénement où la grenouille de gauche est un homme et la grenouille de droite est une femme. Maintenant, la probabilité est vraiment de moitié et peu importe celle que nous choisissons. Le même argument est vrai si nous apprenons que la grenouille de gauche est un mâle.

Mais si on nous dit seulement quau moins une grenouille est un mâle, ce qui se passe quand nous entendons le croassement, alors nous ne pouvons pas éliminer le cas où la grenouille gauche est un mâle et la grenouille droite est une femelle. Nous ne pouvons quéliminer lévénement selon lequel les deux sont des femmes, ce qui rend lévénement au moins une femme plus probable que le paramètre précédent.

Je pense que la raison pour laquelle cela est déroutant est que nous pensons naturellement quapprendre cela au moins un est un mâle devrait nous dissuader de choisir la paire de grenouilles. Il est vrai que cette information rend moins probable qu’au moins une femme soit une femme, mais reconnaissez également qu’il y avait trois quarts de chance d’au moins une femme avant d’apprendre quoi que ce soit. Cest l ambiguïté des informations que nous recevons qui fait que nous devrions toujours préférer les deux grenouilles à la seule.

Commentaires

• Merci dsaxton, intuitivement, jai opté pour les deux grenouilles, mais mon raisonnement ma dit que lun ou lautre choix était également probable.
• Merci dsaxton, je le soupçonne ‘ s le phrasé de lénigme qui me jette. Comme rencontré, les deux grenouilles ne sont pas distinguables (sans plus dinformations), donc je ne vois pas la distinction (M, F), (F, M) comme significative dans ce Je ne suis pas convaincu que mon raisonnement est erroné, mais je mexcuse si je suis juste un peu lent.
• Merci encore dsaxton. Comme mentionné ci-dessus, je ‘ ve a trouvé le blocage mental que javais et je peux maintenant voir pourquoi la réponse est la bonne réponse (et la question à laquelle jessayais de répondre). Merci encore pour votre aide, voir la réponse nest tout simplement pas la même chose que davoir laide pour vraiment le comprendre.

Votre intuition est correcte dans ce cas. Comme le problème est énoncé, vos chances de survie sont de 50%. La vidéo indique incorrectement lespace du problème en fonction des informations dont nous disposons et aboutit donc à une conclusion incorrecte. Lespace de problème correct contient 8 conditions et se présente comme suit.

Nous avons deux grenouilles sur une bûche, et lune delles a croassé quelles sont nos possibilités?(M désigne un homme, F désigne une femme et c désigne un croassé, la première position est à gauche, la deuxième position est à droite)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Chaque cas est également vraisemblable sur la base du informations que nous avons, lorsque nous éliminons les conditions étant donné la connaissance quune grenouille mâle a croassé. Nous constatons quil y a 4 résultats à attendre. La grenouille mâle gauche croassait à côté dune grenouille mâle droite qui était silencieuse. La grenouille mâle droite croassa à côté dune grenouille mâle gauche qui était silencieuse. Ou il y avait une grenouille mâle coassante associée à une seule grenouille femelle dans les deux sens. Pour une manière intuitive de comprendre cela, les deux grenouilles mâles sont deux fois plus susceptibles de croasser que la grenouille mâle célibataire associée à une femelle, nous devons donc la pondérer de manière appropriée.

Vous pouvez également diviser lespace de recherche en croassant la grenouille (C) et la grenouille non croassante (N). Puisque la grenouille coassante est à 100% un mâle, vous pouvez léliminer de votre recherche car elle na aucune chance de vous aider à survivre. Alors que lauteur avait lintention de créer un «problème de salle monty», il a créé par inadvertance un «paradoxe de garçon ou de fille».

Les questions suivantes donnent des résultats différents:

Etant donné quil y a un homme, quelle est la probabilité que lautre soit une femme?

Etant donné quun grenouille mâle a croassé quoi est-il probable que lautre soit une femme?

Je connais plus dinformations dans le second cas

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Une réponse plus claire, car la précédente était trop longue et difficile à comprendre.

Les résultats possibles sont différents, même si jai utilisé les mêmes lettres. Pour clarifier lespace de léchantillon, je décrirai les résultats possibles

MM -> « Le le mâle est à gauche « – » Un mâle au hasard à droite « 

MF -> « Le mâle est à gauche » – « Une femelle au hasard à droite »

MM – -> « Le mâle est à droite » – « Un mâle au hasard à gauche »

MF -> « Le mâle est à droite » – « Une femelle au hasard à gauche »

Commentaires

• Vous comptez deux fois le MM Cas. Vous pouvez ‘ simplement énumérer tous les scénarios possibles sans tenir compte du fait que vous ‘ arrivez au même scénario par des chemins différents.

Le problème que jai avec ce problème, cest que la solution semble utiliser des règles différentes pour il considère un résultat possible pour les deux grenouilles étant un homme et une femme, et un homme et un homme.

La paire F / M, et la paire M / F, sont différentes parce que nous ne savons pas si la première grenouille ou la seconde grenouille est un homme, donc F / M et M / F sont deux possibilités distinctes, même si le résultat revient toujours à « une grenouille femelle, une grenouille mâle ».

Mais le M / M la paire nest considérée quun seul résultat possible, même si la même logique devrait sappliquer: nous ne savons pas quelle grenouille est celle qui a fait le coassement, donc lune ou lautre grenouille pourrait être celle que nous avons entendue, et lautre pourrait encore être un homme , il n « est pas arrivé de croasser.

Commen ts

• Cest plus un commentaire quune réponse à lénigme « .  » Veuillez le changer en commentaire et supprimer cette  » réponse.  »
• @DJohnson En fait, cest une réponse à lénigme, bien que la dernière réponse de tomciopp lexplique plus clairement.

Ne rien savoir: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Trois paires avec au moins une femme sur quatre combinaisons possibles: $ 3/4 $ ou 75 $ \% $

Sachant que le premier est un homme: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Une paire avec au moins une femme sur deux combinaisons possibles: $ 1/2 $ ou 50 $ \% $

Sachant quil y a au moins un homme: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Deux paires avec au moins une femme sur trois combinaisons possibles: $ 2/3 $ ou 67 $ \% $

Avant dentendre un coassement, il y a 4 résultats également probables pour 2 grenouilles:

La grenouille 1 est un homme, la grenouille 2 est un homme

La grenouille 1 est une femme, la grenouille 2 est un homme

La grenouille 1 est un homme, la grenouille 2 est une femme

Grenouille 1 est une femme, la grenouille 2 est une femme

En supposant que les hommes et les femmes se produisent de manière égale et indépendante, notre espace déchantillonnage est {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, et nous avons une probabilité 1/4 pour chaque élément.

Une fois que nous entendons le croassement provenant de cette paire, nous savons quau moins une grenouille est un mâle. Ce mâle peut également être Frog 1 ou Frog 2. Il y a donc 2 résultats tout aussi probables pour le Frog 1:

Frog 1 is Male

Frog 1 is Random Frog

En supposant que les mâles et les femelles se produisent de manière égale et indépendante, la grenouille aléatoire est également susceptible dêtre un mâle aléatoire ou une femelle aléatoire.

P (la grenouille 1 est un mâle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est Grenouille aléatoire) = P (La grenouille 1 est une femelle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est une grenouille aléatoire) = 1/2

P (La grenouille 1 est un mâle aléatoire et la grenouille 1 est une grenouille aléatoire) = P (La grenouille 1 est aléatoire Frog) P (La grenouille 1 est un mâle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est une grenouille aléatoire) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (La grenouille 1 est Random Female et Frog 1 is Random Frog) = P (Frog 1 is Random Frog) P (Frog 1 is Random Female étant donné que Frog 1 est Random Frog) = (1/2) (1/2) = 1/4

Il y a donc 3 résultats possibles pour la grenouille 1:

La grenouille 1 est un mâle

La grenouille 1 est un mâle aléatoire

La grenouille 1 est une femelle aléatoire

et les probabilités sont:

P (La grenouille 1 est un mâle) = 1/2

P (La grenouille 1 est un mâle aléatoire ) = 1/4

P (Frog 1 est une femelle aléatoire) = 1/4

Maintenant, pour chaque résultat possible pour Frog 1, il y a 2 résultats possibles pour Frog 2:

Frog 2 est un homme

La grenouille 2 est une grenouille aléatoire

Pour chaque résultat possible pour la grenouille 1, la grenouille aléatoire est également susceptible dêtre un mâle aléatoire ou une femelle aléatoire.

Donc, pour chaque résultat possible pour la grenouille 1, il y a 3 résultats possibles pour la grenouille 2:

La grenouille 2 est un mâle

La grenouille 2 est un mâle aléatoire

La grenouille 2 est une femelle aléatoire

P (La grenouille 2 est un homme et la grenouille 1 est un homme) = 0

P (La grenouille 2 est un homme et la grenouille 1 est un homme aléatoire) = 1

P (La grenouille 2 est un mâle étant donné que la grenouille 1 est une femelle aléatoire) = 1

P (La grenouille 2 est un mâle aléatoire et la grenouille 1 est un mâle) = 1/2

P (La grenouille 2 est un mâle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est un mâle aléatoire) = 0

P (La grenouille 2 est un mâle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est une femelle aléatoire) = 0

P (La grenouille 2 est une femelle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est un homme) = 1/2

P (La grenouille 2 est une femelle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est un homme aléatoire) = 0

P (la grenouille 2 est une femelle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est Fe aléatoire male) = 0

P (La grenouille 2 est un mâle aléatoire et la grenouille 1 est un mâle) = P (La grenouille 1 est un mâle) P (La grenouille 2 est un mâle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est un mâle) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (La grenouille 2 est une femelle aléatoire et la grenouille 1 est un mâle) = P (La grenouille 1 est un mâle) P ( La grenouille 2 est une femelle aléatoire étant donné que la grenouille 1 est un mâle) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (La grenouille 2 est un mâle et la grenouille 1 est un mâle aléatoire) = P (La grenouille 1 est un mâle aléatoire) * P (La grenouille 2 est un mâle étant donné que la grenouille 1 est un mâle aléatoire) = (1/4) * 1 = 1/4

P (La grenouille 2 est un mâle et une grenouille 1 est une femme aléatoire) = P (la grenouille 1 est une femme aléatoire) * P (la grenouille 2 est un homme étant donné que la grenouille 1 est une femme aléatoire) = (1/4) * 1 = 1/4

Donc, notre lespace déchantillonnage est {(Male, Random Male), (Male, Random Female), (Random Male, Male), (Random Female, Male)}, et nous avons une probabilité 1/4 pour chaque élément.

P (F étant donné au moins 1 M) = P (F et au moins 1 homme) / P (au moins 1 M) = P (1 M et 1 F) / P (1 M ou 2 M) = P [( Homme, Femme au hasard), (Femme au hasard, Homme)] / P [(Homme, Homme au hasard), (Homme, Femme au hasard), (Homme au hasard, Homme), (Femme au hasard, Homme)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Commentaires

• Avez-vous copié-collé de ma réponse et supprimé la mise en forme?
• Eh bien, tout dabord, copier et coller une partie de quelquun dautre ‘ sans même la mentionner est inacceptable. Cela mis à part, si vous pensez avoir atteint un résultat différent, y a-t-il un moyen plus concis pour vous de lexpliquer? Vous avez écrit beaucoup déquations déconnectées sans aucune explication.
• Ce ‘ nest pas de la littérature mais cest quand même grossier. Maintenant, en ce qui concerne votre réponse par rapport à la mienne: je trouve la vôtre insensée. Quelle est la signification du résultat  » Frog 2 is Random Frog « ?
• Votre réponse était la seule calculer les probabilités conditionnelles. Lutilisation des mêmes termes pourrait aider à comparer et à voir quelle partie est la même et laquelle est différente. Je peux dire, je trouve dautres réponses absurdes aussi, mais je ne lai pas dit parce que ce serait impoli;). Si vous ne comprenez pas qc, vous pouvez demander des clarifications.  » Frog 2 is Random Frog  » signifie que ce nest pas la grenouille mâle connue pour faire partie de la paire ….
• Il existe deux sources daléatoire, lune provenant de la grenouille mâle connue pour faire partie de la paire, lautre provenant de la population de grenouilles. Puisque nous savons que la grenouille mâle est là, lincertitude ne concerne que la position. Est-ce la grenouille 1 ou la grenouille 2? Ou est-ce à gauche ou à droite? Mon conseil est dutiliser un diagramme en arbre pour créer un espace dexemple à partir de zéro et dutiliser toutes les informations disponibles.