Loi de Gauss en gravitation

Oui, vous pouvez utiliser la loi de Gauss pour la gravité.

$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$

ou

$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$

où $ \ vec {g} $ est le champ gravitationnel (de manière équivalente, laccélération due à la gravité), $ \ rho $ est la masse volumique, et $ M_ \ mathrm {enc} $ est la masse totale entourée par la surface gaussienne.

Lorsque vous faites la comparaison n à la loi de Gauss pour les champs électriques, vous pouvez voir comment les constantes fonctionnent comme elles le font:

$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$

donc $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.

Une utilisation courante de la loi de Gauss pour la gravité est de déterminer la force du champ gravitationnel à une profondeur donnée à lintérieur de la Terre. Cest très similaire au calcul du champ électrique à lintérieur dune sphère isolante chargée.

Commentaires

• Dans mon article original, jai foiré les constantes … corrigé
• En effet la correspondance étroite entre le flux du champ dans le traitement dEinstein ' avec Newton ' s pour un champ faible à symétrie sphérique peut être démontré en utilisant cette approche de Gauss ' Law.

La loi de Gauss pour la gravité dit en gros que le flux gravitationnel total émanant dune sphère entourant la Terre est $ 4 \ pi GM $ .

Divisez maintenant ceci par la surface totale de la sphère $ 4 \ pi R ^ 2 $ avec $ R $ le rayon de la Terre.

Le résultat est $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ donnant le flux gravitationnel densité. Si vous calculez le résultat numérique, vous obtenez 9,81 $ \ mathrm {m / s ^ 2} $ .