Meilleure façon dapprendre la trigonométrie

Les plans de Schaum sont très pratiques en général et bon marché. Ils conviennent bien à un apprenant plus âgé. les réponses se trouvent juste après les problèmes par rapport à la fin. Et vous obtenez toutes les réponses, pas le gyp impair / pair. Ainsi adapté à lauto-apprentissage.

Jaime celui-ci dans son ensemble et je le possède: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Il date des années 1960, donc la langue nest pas archaïque, mais ce nest pas « Nouveau ». Je ne sais pas quel avantage autre que la langue que vous attendez des versions plus récentes, mais si vous en voulez une plus récente, ils ont une 4e édition récente College Math que vous pouvez obtenir à la place.

Remarque, il sagit dun pré-calcul général livre (et probablement ce dont vous avez besoin). Mais si vous voulez juste une amorce de trigonométrie, Schaum en a aussi. De toute évidence, il y a plus de problèmes de trig dans le livre de trig que dans le livre precalc (qui couvre tous les cours normaux du lycée).

Ps être plus facile de vous conseiller si vous nous aviez dit quels livres vous ont échoué. Comme ai-je écrit une longue réponse en vain?

Pss Je ne sais pas pourquoi trig est un obstacle pour les gens. Mais je recommande de penser dabord au sin et au cos et autres dans le contexte du cercle unitaire, pas aux rapports des côtés des triangles. Cest juste un concept un peu plus simple et sans ratio à suivre.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn rend les choses un peu plus complexes ici en parlant de ratios. Mais quand je lai appris, le gros avantage a été une toute première introduction sans rapport … juste les axes x et y du cercle unitaire.

Commentaires

• Merci pour la réponse! Et vous ‘ avez raison, jaurais dû mentionner quels livres. Les 3 livres sont Trigonometry, 5e édition de Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies de Mary Sterling, et College Trigonometry de Stitz et Zeager, 2013. Je ‘ va commencer precalc à luniversité une fois que lété se termine, et je ‘ je suis sûr que ‘ je me familiariserai assez tôt avec le trig. Jespère juste en apprendre suffisamment le temps moyen donc je termine mon premier parcours sans trop de bosses sur la route.
• Assurez-vous de résoudre de nombreux problèmes. Vous avez peut-être limpression que  » Je ‘ je ne comprends pas « . Mais si vous travaillez de grandes quantités de problèmes, cela ne fera que rentrer dans votre tête. Et résoudre les problèmes signifie couvrir la réponse, travailler le problème jusquau bout. Vérification de votre réponse. Répéter (entièrement) tous les problèmes manqués à partir de zéro (même pour des erreurs de signe stupides). Traitez-le comme un entraînement physique pour un sport ou lapprentissage dun instrument de musique. Soyez diligente.
• @RustyCore Pour être clair, je suis ‘ transféré dun collège local. Ce que je me suis spécialisé à luniversité navait aucun rapport avec les mathématiques et avait très peu dexigences en mathématiques, doù mon premier cours de mathématiques à luniversité étant precalc.
• @guest, je comprends. Mais je pense que Rusty était présomptueux et impoli. Je ‘ suis pleinement conscient que lobtention de ce diplôme sera probablement la période la plus difficile et la plus stressante de ma vie, mais je ne ‘ pas vraiment envie pour men fermer juste parce que ‘ jai du mal avec un sujet. La plupart des gens abandonnent et disent quils ‘ ne sont tout simplement pas des mathématiciens lorsquils sont confrontés à un barrage routier et quils se coupent immédiatement des mathématiques supplémentaires ou des bases dont ils ont besoin pour se rafraîchir. Jessaie ‘ déviter cela parce que jai fait exactement les années précédentes.
• @Lex_i, vous semblez être un étudiant adulte, et jai eu beaucoup détudiants comme toi qui excelle. Jespère que vos aventures en mathématiques vous apporteront de la joie.

Peut-être quune approche visuelle pourrait compléter votre étude? Il existe de nombreuses ressources de ce type disponibles sur le Web, pas dans les manuels. Par exemple, Déclencher intuitivement :

---

         
          ^{Remarque: les libellés indiquent où chaque élément « va jusquà .  »}

---

Autre: Cercle dunité interactif . Autre: Fonctions de déclenchement inversé .

Commentaires

• it ‘ est un diagramme utile. Jajouterais un avertissement indiquant que le concept de triangles similaires est utilisé, afin déviter toute confusion.
• Je pense que le diagramme serait plus utile sil montrait langle et de quoi toutes les fonctions sont fonction . On dirait quil ‘ est conçu pour se souvenir de ce que vous savez déjà, pas pour apprendre le trig à partir de zéro.
• @JessicaB: Premièrement, ce nest pas mon diagramme: -). Deuxièmement, il y a un récit qui va avec; il nest pas destiné à être autonome. Troisièmement, je trouve utile de voir, par exemple, que $ \ sin \ le \ tan $ et $ \ sec \ ge \ tan $ et $ \ tan $ peuvent être illimités, etc.
• @ JessicaB: PS. Langle est langle au centre du cercle, lequel cercle est malheureusement presque invisible dans mon instantané.
• @JosephO ‘ Rourke Je sais que vous navez pas ‘ t dessiner. Et je sais maintenant que langle est celui du centre, car je connais le trig. Mais quand je lai découvert pour la première fois, jai été très confus parce que je navais ‘ pas compris la relation avec langle.

Personnellement, je préférerais une recommandation de manuel que je peux télécharger ou récupérer qui nest [de préférence] pas ancienne et qui ne lest pas ne pas rendre lapproche de la trigonométrie intimidante (en particulier celle qui met laccent sur la compréhension des preuves derrière les propriétés / théorèmes).

Je nai pas de manuels à recommander, mais je peux recommander une approche de la faisant la trigonométrie qui facilite sa compréhension mathématique en cristallisant la base logique de la trigonométrie et structure algébrique dexpressions trigonométriques. Il existe deux « niveaux » à cela, selon que vous voulez aller directement à compl ex nombres ou restez dans la trigonométrie réelle. Dans les deux cas, laccent est mis sur lidentification du noyau intrinsèque de la trigonométrie et de réduire tout le reste à cela.

---

Trigonométrie réelle

Les quantités clés sont $ \ cos (t) $ et $ \ sin (t) $ , qui sont les $ x $ et $ y $ coordonnées du point $ P_t $ sur le cercle unitaire qui sous-tend un arc de longueur $ t $ dans le sens inverse des aiguilles dune montre à partir de laxe $ x $ , comme illustré dans limage de wikipedia :

Ici, la longueur de larc est mesurée le long du cercle unitaire, et $ π $ est défini comme longueur de larc du demi-cercle, donc 2π $ est 360 $ ° $ . (Cette façon de mesurer les angles est souvent appelée les mesurer en  » radians « , mais je pense personnellement que cest un terme inutile.) Remarque que $ P_t = P_ {t + 2πk} $ pour tout entier $ k $ , car $ 2πk $ serait un multiple entier de tours complets. Notez également que laugmentation de $ t $ déplace $ P_t $ vers la gauche, tout en diminuant $ t $ déplace $ P_t $ dans le sens des aiguilles dune montre. À ce propos, $ P _ {- t} $ est le reflet de $ P_t $ sur le $ x $ -axis.

Notez que les signes de $ \ cos (t) $ et $ \ sin (t) $ correspondent exactement aux signes de $ x $ et de $ y $ coordonnées du point sur le cercle. (Nécoutez pas les gens qui vous disent de mémoriser quelque chose pour déterminer lequel dentre eux est positif dans quel quadrant.)

Et juste par définition, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ pour chaque $ t $ réel. Voici le premier fait algébrique clé .

Ensuite, $ \ tan (t) $ est défini comme $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historiquement, nous avons également défini $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ et $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ et $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , mais franchement, il y a peu davantages à en avoir autant quand $ \ cos, \ sin $ suffit à lui seul.) Chaque fois que vous souhaitez simplifier une expression trigonométrique impliquant $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , vous devriez probablement utiliser la technique mathématique standard de réécriture sous forme canonique , ce qui dans ce cas signifie réécrire en termes de $ \ cos, \ sin $ seul, tandis que en prenant note de lendroit où lexpression dorigine nest pas définie (par exemple, $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ pour tout réel $ t $ uniquement lorsque $ t $ nest pas un multiple de $ π $ ).

Les autres faits algébriques clés découlent de la prise en compte des matrices de rotation appliquées aux vecteurs. (Si vous nêtes pas familier avec les matrices en tant quopérateurs sur les vecteurs, veuillez dabord lire ceci . Pour une introduction aux vecteurs dans lespace euclidien, voir ici .) Soit $ R $ nimporte quelle rotation autour de lorigine dans le plan. Alors $ R $ satisfait trois propriétés:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ pour tout vecteur $ u, v $ (cest-à-dire que la somme de deux vecteurs puis la rotation du résultat donne la même chose que la rotation les deux vecteurs avant de les additionner).
2. Si $ R, S $ sont des rotations anti-horaire des angles $ t, u $ respectivement, alors $ R∘S $ est une rotation anti-horaire de langle $ t + u $ .
3. Si $ R $ est une rotation anti-horaire de langle $ t $ , puis:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ pour tout réel $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ pour tout réel $ y $ .

Nous pouvons prendre ces propriétés comme des axiomes (hypothèse) sur les rotations. Après tout, si $ R $ ne les satisfait pas, nous nappellerons pas $ R $ une rotation vers commencer avec. Pour comprendre pourquoi, la propriété (1) capture lintuition selon laquelle la rotation de deux tiges connectées fera tourner les deux tiges de langle de rotation tout en préservant lendroit où elles se connectent. La propriété (2) nest nécessaire quen conjonction avec la propriété (3). La propriété (3a) découle de la définition de $ \ cos, \ sin $ , et la propriété (3b) découle de la même définition tournée $ 90 ° $ dans le sens anti-horaire.

Les propriétés (1) et (3) donnent la forme matricielle dune rotation 2D:

Si $ R $ est une rotation anti-horaire de langle $ t $ , puis $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Et puis en utilisant la propriété (2) nous get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ pour tous les réels $ t, u $ .

En multipliant le produit matriciel à droite et en comparant avec la matrice à gauche, on obtient immédiatement langle- somme des identités:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ pour tous les réels $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ pour tous les réels $ t, u $ .

Chaque fois que vous souhaitez simplifier des expressions impliquant des fonctions trigonométriques sur des sommes de angles, vous devriez envisager dutiliser ces identités pour réduire lexpression en termes de $ \ cos, \ sin $ du moins dangles possible.

En fait, tous les i trigonométriques Les dentités impliquant uniquement des opérations arithmétiques et des fonctions trigonométriques peuvent être prouvées en utilisant uniquement les définitions ci-dessus et les faits algébriques clés. Un peu curieusement, même les propriétés de symétrie peuvent être prouvées algébriquement comme suit.

Étant donné tout $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [somme des angles]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [somme des angles]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Pour passer à lanalyse réelle, nous aurions besoin des faits suivants, qui peuvent être pris comme axiomes pour le moment (et justifiés séparément plus tard):

1. $ \ sin « = \ cos $ .
2. $ \ cos « = – \ sin $ .

Comme avant, tout ca n être réduit à ceux-ci, il ny a donc pas vraiment besoin de mémoriser quoi que ce soit (même si cela peut être pratique de le faire).

---

Trigonométrie complexe

Personnellement, Je pense quil est préférable daller directement aux fonctions trigonométriques à valeurs complexes, si lon souhaite une base complète et rigoureuse pour le champ mathématique de lanalyse . On définit simplement: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ pour chaque complexe $ z $ (après prouvant que la somme converge).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ est le double de la première racine positive de $ \ cos $ ( après avoir prouvé quil existe).

La motivation est que nous voulons $ \ exp: \ cc → \ cc $ tel que $ \ exp « = \ exp $ et $ \ exp (0) = 1 $ , pour pouvoir résoudre des équations différentielles linéaires générales, et nous voulons $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ tel que $ \ cos «  » = – \ cos $ et $ \ sin «  » = – \ sin $ et $ ⟨\ cos (0), \ cos « (0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ et $ ⟨\ sin (0 ), \ sin « (0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , pour pouvoir résoudre un mouvement harmonique simple, et lexpansion de Taylor nous amène aux définitions ci-dessus pour $ \ exp, \ cos, \ sin $ , dont nous pouvons prouver quelles convergent sur tout le plan complexe. La définition ci-dessus de $ π $ est la plus simple que je connaisse qui ne dépend daucune géométrie. (Pour plus de détails sur cette motivation, voir cet article .)

Autant dire quavec ces définitions, nous pouvons prouver par une analyse de base que $ \ exp, \ cos, \ sin $ satisfait les propriétés de motivation souhaitées ainsi quune autre propriété clé sur $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ pour tout $ z, w $ .

En utilisant cette propriété, nous pouvons prouver toutes les identités trigonométriques via la manipulation algébrique seule (et elles sont valables pour les variables complexes et non juste des variables réelles).

Par exemple, étant donné tout $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Néanmoins, il est souvent encore plus facile de commencer prouvez les mêmes faits algébriques clés pour $ \ cos, \ sin $ puis utilisez-les pour prouver dautres identités, plutôt que pour tout réduire à $ \ exp $ .

Commentaires

• Pour plus dinformations mathématiques, nous vous invitons à ce salon de discussion .

Faites Saylor Academy ou edX avez quelque chose qui vous aidera? Ce sont deux plates-formes gratuites avec des cours de mathématiques. Saylor Academy utilise presque exclusivement un manuel – vous pouvez en fait obtenir un crédit grâce à eux. Modernstates.org peut également vous aider – ils ont un cours autoguidé avec des vidéos pour lenseigner. Rootmath peut également être une bonne ressource. Envisagez-vous dobtenir des crédits pour ce cours grâce au Clep?