Je « rencontre des problèmes avec le modèle Ho-Lee pour les taux courts et je différencie comment trouver les valeurs du paramètre libre λ par rapport à l’utilisation du modèle pour prédire les taux futurs.
Le modèle Ho-Lee pour chaque étape dans un arbre binomial: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Jai lu ça pour définir le paramètre libre à chaque étape dans un arbre binomial de recombinaison, vous définissez le taux à létat 0 sur le taux au comptant actuel (cest-à-dire: taux au comptant dun mois) et trouvez une valeur pour lambda qui, une fois branché dans le modèle, entraînera le taux au comptant actuel pour le prochain pas de temps (par exemple: en commençant par le taux au comptant dun mois à létat 0 et en utilisant un pas de temps dun mois, la valeur correcte pour lambda une fois branché au modèle produira le taux au comptant actuel de 2 mois, etc.).
Cela me trouble. Une fois que jai « déterminé la valeur de lambda pour chaque étape de mon arbre, quelles entrées dois-je changer pour utiliser le modèle avec mon bac arbre omial pour prédire les taux à terme .. ie: taux un mois dans un mois, dans deux mois etc?
Au cas où ma description ne serait pas claire, voici une exception du livre de Bruce Tuckman sur le subject.
… trouver λ1 tel que le modèle produise un taux au comptant sur deux mois égal à celui du marché. Trouvez ensuite λ2 tel que le modèle produise un taux au comptant à trois mois égal à celui du marché. Continuez de cette manière jusquà la fin de larbre.
Réponse
Vous savez que le modèle de Ho-Lee est représenté par les équations différentielles stochastiques \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Afin de mettre en œuvre notre arbre binomial, nous utilisons la discrétisation dEuler. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} où $ Z $ est une variable aléatoire normale standard. Soit $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ et étendre léquation, en temps discret \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Cette relation montre que le taux court est la somme dun ensemble de termes de dérive non stochastiques et dun ensemble de termes aléatoires .Le prix de lobligation zéro coupon sans arbitrage $ P (t, t + \ Delta t) $ sera donc indiqué comme
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Par exemple, calculer le prix de lobligation au moment $ n = 2 $, nous donne: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} en dautres termes \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} Dans ce cas, $ r_t $ a une distribution normale, donc \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Mais \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Il peut être réécrit comme: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} then \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Cette relaton donne les relations récursives nécessaires pour faire évoluer le modèle Ho-Lee sans arbitrage des taux courts. Nous prenons un ensemble de prix obligataires et une structure de volatilité comme intrant pour les taux courts. Par conséquent, nous obtenons léquation évolutive pour représenter larbre binomial du modèle.
Commentaires
- Merci pour votre réponse, bien quelle ' est au-dessus de mon niveau de compréhension. En termes simples, je comprends que le but du modèle est de modéliser les taux futurs. Jai ' lu que nous définissons les paramètres libres à chaque étape de larbre de sorte que le modèle crache les taux au comptant actuels. Si cest ainsi que nous savons que le modèle est calibré, quelles entrées changerais-je pour pouvoir lutiliser pour modéliser les taux futurs?