Mosaïque dun hexagone avec des diamants

Je pense avoir trouvé une preuve très simple.

Chaque tuile avec des côtés verticaux doit avoir deux autres tuiles avec des côtés verticaux adjacents , ou la limite verticale de lhexagone. Pour une tuile donnée avec des côtés verticaux, suivre ces tuiles adjacentes donne un chemin spécifique aux deux côtés verticaux de lhexagone.

Cela signifie que chaque tuile avec des côtés verticaux se trouve sur un chemin qui commence sur le côté gauche de lhexagone et se termine à droite, et se compose uniquement de tuiles avec des côtés verticaux. Aucun de ces chemins ne peut se croiser, car cela créerait deux chemins différents à partir dune seule tuile avec des côtés verticaux vers le côté gauche de lhexagone, qui ne peut pas exister selon le premier paragraphe.

Puisque aucun des chemins intersecter, chaque chemin entre les côtés gauche et droit de lhexagone doit commencer et se terminer à la même hauteur. Par conséquent, chaque chemin doit contenir un nombre égal de chacune des deux tuiles orientées différemment avec des côtés verticaux. Puisque chaque tuile avec des côtés verticaux se trouve sur un tel chemin, le nombre total de ces deux tuiles orientées différemment doit être égal.

Répétez cette opération symétriquement pour deux autres orientations pour trouver que le nombre de tuiles de chaque orientation doit être égal.

Commentaires

• Très belle preuve. Je pense que cela pourrait être rendu encore plus facile par la simple observation que a + b = b + c = c + a équivaut à a = b = c. Ensuite, vous pouvez laisser tomber toute la traversée et monter et descendre des trucs. Au lieu de cela, comptez simplement les traits verticaux. Selon votre argument, ils doivent avoir le même nombre dans chaque  » colonne  » et la limite. Vous pouvez mapper 1 à 1 tous traits verticaux sauf la limite gauche, par exemple, à toutes les tuiles qui ont des côtés verticaux (cest-à-dire deux types, comme dans a + b ci-dessus) en associant chacune de ces tuiles avec son bord vertical droit.
• Ah, vous ‘ êtes à droite. Une fois que vous savez quil y a un nombre égal de traits dans chaque orientation, le résultat suit facilement.

Je souhaite publier une réponse plus intuitive que mathématique .
Cette image la représente parfaitement:

Le blanc, le gris et le noir sont utilisés pour mettre en évidence les diamants avec la même orientation. La bonne image montre un solide bizarre, je suppose que tout le monde peut le voir.
Eh bien, il est intuitif de voir que, quelle que soit la configuration, la zone noire est équivalente (blanche et grise également): cest comme extruder des parties de votre sol (cest-à-dire construire des escaliers!), la zone sur laquelle vous pouvez marcher ne change pas!

Commentaires

• Votre forme reste dans ma tête. Un instant, le noir est  » haut « , le suivant est  » down « . Mais jaime cette preuve.
• @Floris Mon intention est en effet de résoudre ce problème comme un puzzle (nous ‘ re dans Puzzling, hein!), et non comme une tâche purement mathématique.
• Vous ‘ supposant que chaque solution  » ressemble à  » une pile de cubes. Comment savez-vous que cest vrai? En effet, supposer que chaque solution ressemble à une pile de cubes est assez en supposant que chose que lon vous demande ‘ de prouver.
• @Floris: Oh, il ma fallu un certain temps pour le voir inversé, et une fois je dois me battre  » tenir  » cette interprétation et ça me fait mal à la tête. Je suppose que jai joué trop de Q * bert dans ma jeunesse.
• @ leoll2 Il ‘ est votre travail de nous convaincre que cela ne peut ‘ être autre chose. Comment puis-je être sûr quil ny a ‘ aucun carrelage étrange qui ne ‘ ressemble à une pile de cubes?

Voici « une preuve inspirée de la 3D.

Prenez nimporte quel hexagone en mosaïque et regardez-le des lignes verticales.

Tout dabord, observez quen raison de la forme des tuiles, toutes les lignes verticales doivent avoir la même longueur que les côtés gauche et droit de lhexagone, éventuellement avec des espaces entre les deux.

Donc, si aucun dentre eux na despace, et que tous se terminent en bas, le pavage entier doit ressembler à ceci (« cube complètement rempli »):

Nous montrons quil est possible de transformer nimporte quel autre pavage en un » cube complètement rempli « sans changer le nombre de tuiles dans chaque orientation.

Tout dabord, sélectionnez un fragment dune ligne verticale qui ne se termine pas en bas. Il doit se terminer par une tuile horizontale à la place, car les deux autres tuiles ont toutes deux des côtés verticaux. Espérons que la situation ressemble à ceci (« corner »):

Mais peut-être quil y a une ou deux lignes supplémentaires à lorigine au même endroit, comme ceci:

Si tel est le cas, suivez lun dentre eux. Il doit appartenir à une autre tuile horizontale adjacente à la tuile courante. (Vous pouvez le voir sur limage.) Donc, après avoir suivi la ligne, vous êtes à nouveau dans la même situation, mais plus près de lun des côtés de lhexagone (ce qui garantit la terminaison, car il y a certainement une ligne verticale dans la direction où vous vient de). Continuez dans la même direction jusquà atteindre un « coin ».

Maintenant que vous avez atteint un « coin », « remplissez-le »:

De toute évidence, le nombre de tuiles dans chaque orientation est resté le même. Cependant, un fragment de ligne verticale vient de se déplacer vers le bas.

Répétez cet algorithme jusquà ce que toutes les lignes verticales se terminent en bas et que tous les espaces soient supprimés, ce qui donne le « cube complètement rempli » (voir ci-dessus).

Commentaires

• Cool! Cela prouve également que nimporte quel pavage peut être transformé en nimporte quel autre par une séquence de  » remplissages de coins « , ou de petites rotations hexagonales
• Oui, et dune certaine manière, cela prouve que linterprétation 3D fonctionne toujours. Mais je pense que cela pourrait être prouvé beaucoup plus directement, comme dans  » prendre nimporte quel carrelage et construire une structure 3D correspondante comme suit …  »
• bon 🙂 essentiellement rotation 3D. Jai fait le 2ème. Avez-vous déjà rencontré ce casse-tête?

Fait intéressant, en regardant limage sous forme de graphique 3D, vous pouvez voir que chaque « face » a le même nombre de tuiles. Donc, si vous le regardiez de gauche, vous verriez 25 carrés. En haut, 25 carrés. À droite, 25 carrés. Et chacune des 3 orientations correspond à lune des faces.

Commentaires

• Jai limpression que cet argument est convaincant, mais seulement pour le carrelage particulier que vous regardez. Comment pouvez-vous être sûr que lillusion doptique se produira pour chaque carrelage possible?
• Cette réponse semble être un moyen de visualiser la réponse … elle ne prouve rien. Il est cependant possible de le prouver de cette manière.
• Je suis tout à fait daccord. I  » connais  » la réponse, mais lexpliquer me dépasse ce vendredi.

Encore une autre; celle-ci est basée sur un triangle et pourrait être plus une preuve standard.

Divisez lhexagone entier en triangles et attribuez des nombres à les lignes verticales comme celle-ci (ou similaire):

Maintenant, pour toute forme triangulaire (whi ch ne doit pas nécessairement être un pavage) définit son « degré » comme le nombre obtenu en additionnant tous les nombres attribués à sa limite gauche et en soustrayant tous les nombres assignés à sa limite droite. Par exemple, la forme

a un « degré » de $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Maintenant, construisez un carrelage morceau par morceau et considérez le « degré » de la forme résultante. Lajout dune tuile horizontale ne change pas le degré, lajout de lun des autres augmente ou diminue celui-ci de 1, respectivement:

Puisque lhexagone entier a un degré de 0, le nombre des deux tuiles affichées doit être égal. Répétez symétriquement dans une autre direction.

Commentaires

• Vous pouvez diviser lhexagone en un nombre quelconque de formes, la somme des degrés de ces formes est alors 0.Techniquement cela ne répond pas car vous devez encore prouver que vous pouvez construire le carrelage (par exemple en extrudant, vous venez de prouver que si un carrelage existe alors il doit avoir le degré 0) Mais cette réponse fournit à coup sûr une pièce manquante à la preuve donc +1
• De la façon dont je comprends la question, il nest pas nécessaire de prouver quun carrelage existe toujours. Mais cest le cas, bien sûr. 🙂 (Voir ma première réponse.)
• et pour voir que vous pouvez construire tous les pavages possibles, jai besoin de ma réponse 🙂
• Oh, maintenant je comprends ce que vous dites. Par  » build « , je veux dire quelque chose de différent: commencez avec une tuile; cest votre première forme. Ensuite, ajoutez une tuile après lautre, jusquà ce que vous atteigniez la tuile que vous aviez à lorigine.
• Non, car je commence à partir dun état valide (il suffit den donner un, que ‘ s trivial) puis appliquez une sorte de transformation qui vous laisse dans un autre état valide. Construire comme vous le dites est plus difficile car vous avez besoin dune sorte de  » préemption  » qui est possible mais nécessite une recherche, pendant que je suis dans mon message Je nutilise ‘ aucune recherche, juste des  » transitions  » pré-fixes qui font raisonnement très facile ..

Considérons la grille triangulaire par colonne.

Chaque colonne de la moitié gauche en a une plus de triangles pointant vers la gauche que les triangles pointant vers la droite. Dans la moitié droite, il y a un excédent dun triangle pointant vers la droite.

Les losanges diagonaux contribuent à exactement un triangle pointant vers la gauche et un triangle pointant vers la droite dans un Colonne. Ignorons-les. Il vous reste à gauche les triangles qui font partie dun losange horizontal. Un losange horizontal est constitué dun triangle pointant vers la gauche dans une colonne (rouge) et dun triangle pointant vers la droite correspondant dans la colonne de droite (vert).

Les triangles que nous ignorons se composent de paires de triangles pointant vers la gauche et vers la droite dans une colonne. Donc, dans chaque colonne, il doit encore y avoir un excédent sur un triangle rouge dans la moitié gauche et un excédent dun triangle vert dans la moitié droite.

Dans la première colonne, il doit y avoir un triangle rouge car il y a un excès de un et il ne peut y avoir de triangle vert. Ce triangle correspond à un triangle vert dans la 2e colonne. Dans la colonne 2, il y a un triangle vert 1, il doit donc y avoir un autre triangle rouge. Soit 2. Ces 2 triangles rouges ont des triangles verts correspondants dans la 3e colonne, etc.

Comme vous le voyez, il y a un autre triangle rouge dans chaque colonne suivante, jusquà la ligne médiane. La dernière colonne avant la ligne médiane comporte 5 triangles rouges. Il y a 5 triangles verts correspondants à droite de la ligne médiane. Mais nous avons encore maintenant un excès de 1 triangle vert, le nombre de triangles rouges diminue à 4. À partir de là, le nombre diminue avec chaque colonne. Le résultat est que quelle que soit la façon dont les pastilles sont placées, les triangles rouges comptent dans les colonnes forment la séquence 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, qui totalise 25.

Cela signifie quil y aura toujours 25 triangles rouges. Et ce sont des moitiés des pastilles horizontales, il y aura donc toujours 25 pastilles horizontales.

Par symétrie de rotation, la même chose sapplique aux losanges diagonale gauche et diagonale droite. Cela signifie que quelle que soit la façon dont ils sont placés, il y aura toujours 25 de chacun des 3 types de pastilles.

QED

Voici ma tentative de le prouver .. Cela me semblait impossible jusquà ce que jexploite enfin une astuce.

Je pars dune configuration valide où il ny a quun seul changement possible (rotation les 3 demi-lignes au milieu: tout autre changement changerait en même temps le nombre de losanges et créerait des triangles.)

Une fois que vous faites ce changement, vous êtes libre de lannuler (inutile, je vais le marquer en bleu) ou de faire 3 autres changements (en rouge). Vous notez immédiatement que vous pouvez faire ce « changement » uniquement sur les points qui ont des lignes placées comme le milieu du premier mouvement, ou le milieu du cube initial.

Une fois que vous avez fait votre deuxième mouvement, vous ne pourrez pas annuler le premier mouvement (gris maintenant) car cela créerait des triangles et dautres formes.

(En supposant que mon premier mouvement était une rotation dans le sens des aiguilles dune montre de 1/6 de tour, mon annulation est de 1/6 dans le sens anti-horaire)

En gros, vous pouvez simplement vérifiez que les seuls mouvements possibles sont des rotations de groupe de tuiles faites par 3 diamants (1 pour chaque orientation) (vous pouvez vérifier tous les mouvements possibles sur un « cube » 2x2x2 et voir que cest vrai).

Doù vous notez également que la rotation garde le même nombre de diamants pour chaque orientation.

Il manque un petit morceau de la preuve: je nai pas montré quà partir de mon premier cube je peux faire tous les pavages possibles, cest parce que les rotations ont des « interdépendances » et que je nen ai pas savoir si à un moment donné « je » resterai bloqué « sans plus de mouvements possibles.

Jai » trop sommeil pour cette preuve, mais jai développé une autre méthode de preuve que je « vais vous laisser le plaisir de lutiliser:

Extrusion de colonnes à partir dun cube « vide »:

Vous voyez que vous ne pouvez pas extruder une colonne à une longueur supérieure aux colonnes précédentes (il y a 2 directions pour vérifier les colonnes précédentes) car vous « obtiendrez des triangles.

Vous avez maintenant un moyen de calculer vraiment tous les pavages possibles. Vous commencez par la colonne la plus en arrière, et une fois que vous avez décidé une hauteur, vous pouvez extruder les 2 voisins à nimporte quelle hauteur inférieure ou égale à la colonne la plus en arrière. Après cela, vous pouvez faire de même pour les 3 colonnes suivantes.

Il y a aucune dépendance aux rotations ici. Vous choisissez un numéro, puis vous pouvez choisir à nouveau le même numéro ou un nombre inférieur. Cest beaucoup plus facile mais ayez un peu daide de limagination (3ème dimension dans un problème qui a 2 dimensions).

Eh bien, ce nest probablement pas une preuve formelle. Mais aide limagination, vous avez 2 façons dattaquer le problème, et probablement celles-ci peuvent être contournées pour une preuve formelle. Mais je pense que cest plus intéressant lintuition que la preuve. Sans une certaine intuition, il ny aura jamais de preuve.

La clé semble toujours être la même. À partir dune configuration triviale, les seuls mouvements possibles préservent incidemment le nombre de losanges pour chaque configuration.

P.S:

Je nai jamais vu ce puzzle auparavant. Jespère que vous aimerez ma première réponse dans un échange déroutant.

De la pavage triangulaire avec une « frontière de cube », nous pouvons voir que:

• il y a un nombre égal de segments de ligne à $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• chaque losange couvre exactement un type de segment de ligne

Commentaires

• Isn ‘ t qui ne fait que répéter ce que leoll2 a dit, que lorsque  » extruder des parties de votre sol  » que  » la zone sur laquelle vous pouvez marcher ne ‘ t change « .
• Ce ‘ est en fait une bien meilleure preuve que mes réponses. Il est ‘ intéressant que vous ignoriez simplement toutes les lignes qui sont visibles et que vous vous concentriez sur les invisibles à la place.

Si nous attribuons $ S $ à la longueur de côté de lhexagone (en nombre de longueurs de côté en losange) et $ A $, $ B $, $ C $ à soit le nombre de diamants de chaque type où $ A $ est plus long que haut, $ B $ pointe en bas à droite / en haut à gauche et $ C $ pointe en bas à gauche / en haut à droite.

Le le nombre total de diamants (aka surface) nous permet de faire cette équation:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Imaginez le $ S = 1 $ hexagone … Il ny a que 2 solutions qui sont la même rotation de 30 degrés. Il doit y avoir les trois diamants présents dans lordre de la partie centrale pour ajouter jusquà 360 degrés.

Nous pouvons imaginer quil y a 3 chemins qui vont de haut en bas, en haut à droite en bas à gauche, et les coins supérieurs gauche aux coins inférieurs droits. Le mouvement total vers le bas pour tout chemin que vous suivez (de haut en bas) doit être égal à $ 2S $ mais le mouvement de gauche à droite doit être nul. Si vous vous déplacez complètement vers le bas sur un diamant $ A $, vous ne vous déplacez pas à droite ou à gauche. Si vous vous déplacez vers le bas sur un diamant $ B $ ou $ C $, vous vous déplacez respectivement à droite ou à gauche. Pour que tous les chemins ne se déplacent pas à gauche ou à droite, le nombre total de $ B $ et $ C $ doit être égal. Si vous faites pivoter le graphique de 60 degrés de sorte quune paire de coins différente pointe vers le haut / bas, vous pouvez lafficher pour $ A $ et $ B $ ou $ A $ et $ C $.

Commentaires

• Pouvez-vous expliquer un peu plus doù viennent ces 3 chemins? Existe-t-il plusieurs chemins possibles (de haut en bas), ou uniques compte tenu du carrelage? Est-ce que cest comme un pion sautant du diamant au diamant adjacent, ou une fourmi qui suit les bords?
• Cest une addition de vecteur …. cela se réfère à tous les chemins qui procèdent dun coin à lautre sans retour suivi. Cest une fourmi qui suit les bords.
• Pour clarifier, il ny a pas de chemin qui ne suit pas B = C alors ajoutez-les tous et B = C

Je ne suis pas sûr que ce soit une réponse complète mais je suis fatigué.

Soit n = nombre de triangles dun côté. Prenez les diamants qui touchent EDIT: n + 1 unités de bord adjacentes (juste à 1 point ne compte pas): au moins un diamant doit être différent des autres. Laissez tous les changements se produire dans les coins, avec un changement à tous les autres coins.Nous avons fait une boucle qui peut contenir un hexagone de longueur de côté n-1, et le nombre de losanges de chaque type est égal. Induction jusquà n = 1, où il est évidemment égal.

Maintenant, laissez une boucle externe hexagonale sécarter de notre politique «Les changements ne se produisent quaux coins». Colorez tous les diamants adjacents aux bords extérieurs dune certaine couleur (par exemple, noir) et laissez tous les diamants qui sortent de cette boucle en blanc. Nous pouvons maintenant voir une boucle brisée entourant une autre boucle (certainement brisée) de n-1. Colorez cette boucle intérieure avec une deuxième couleur, laissant à nouveau tous les rebelles blancs. Faites ceci jusquà lhexagone n = 1, puis colorez les rebelles par orientation.

Maintenant, si vous regardez mon diagramme, lhexagone violet intérieur veut vraiment une tuile rouge en bas au lieu dun orange et dun rose . Imaginez que ce soit une mosaïque. Déchirez une tuile rouge et les rebelles orange et rose au milieu, et placez la tuile rouge là. Lhexagone violet est heureux maintenant. Maintenant, rendez lhexagone vert heureux (un changement seulement à tous les autres coins) – Le losange latéral inférieur veut être deux losanges inclinés pour sadapter autour de lhexagone violet – ajoutez nos tuiles orange et rose sur le côté, en mettant la tuile verte partout où nous avons volé la tuile rouge plus tôt. Je pense quil « est clair que ce processus peut être poursuivi jusquà ce que nous atteignions notre » hexagone optimal « . Mon cerveau est trop frit pour le prouver définitivement.

EDIT: Je crois que ces deux choses sont vraies: 1. Si nous prenons un hexagone non optimal, chaque boucle concentrique sera malheureuse 2. Réparer une boucle malheureuse ajoute nécessairement des tuiles à notre « main » de tuiles de mosaïque retirées 3. Pour réparer lhex le plus intérieur, dérobez tout rebelle approprié.

Avec ces deux choses à lesprit, il est impossible que nous voulions réparer un hexagone mais que nous nayons pas de tuiles dans notre «main» de tuiles retirées, en supposant quil y ait au moins un rebelle du kind requis par la boucle n = 1.

Il ny a pas besoin de longues preuves. Pensez à la 3D.

Imaginez que certains cubes sont fixés dans un coin dune pièce. Les trois orientations sont les faces que nous voyons puisque de tous les côtés, nous devons voir le même nombre de faces.

Commentaires

• il y a aussi une preuve de numérotation. Mettez deux 0 dans un coin et construisez le nombre de sorte que les 3 orientations totalisent toujours -1,0 et 1. En ajoutant ligne par ligne, la somme totale sera 0 Par conséquent X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0 ce qui signifie X = Z. Maintenant, tournez la numérotation à 120 degrés Avec un argument similaire X = Y Ceci complète la preuve
• Malheureusement, cest essentiellement la même chose que la réponse déjà donnée par leoll2, et qui a été prouvée dans la réponse de Sebastian Reichelt. La preuve que vous mentionnez dans votre commentaire a également été publiée dans la deuxième réponse de Sebastian Reichelt.

Dans lordre pour prouver ce principe, à travers la programmation Pascal pour générer différents tracés de diamant, à travers différentes couleurs, vous constaterez que ce problème de pavage 2D est devenu un problème de génération de modèles 3D, et ces modèles sont très proches de lurbanisme ou de larchitecture. Un calcul dessai de la disposition de la tour et du podium. Une autre caractéristique est que le modèle tridimensionnel généré na pas une grande partie supérieure et une petite partie inférieure, et est une disposition parallélépipédique rectangulaire stable. Une  » mise à niveau  » dun problème bidimensionnel vers une disposition en trois dimensions. ional

Commentaires

• Comment cela prouve-t-il la revendication dans la question?