Je suis dérangé par la motivation derrière la définition dune quatre vitesses. Dans Schutz « Un premier cours en Relativité Générale , il utilise le concept de vecteur tangent à chaque point dune ligne du monde dune particule donnée par $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Et plus tard, il déclare que
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
Lexplication mathématique que jai trouvée pour utiliser le temps propre comme paramètre sur lequel tous les observateurs sont daccord, mais je ne peux pas me rendre compte des problèmes que nous obtenons avec cette définition, nous utilisons la relation
\ begin {équation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {équation}
où $ t $ est la mesure du temps dans un cadre inertiel S.
Commentaires
- Je ne ' pense pas que vous ' poser cette question dans l’espace euclidien. Prenons une courbe $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Alors on peut écrire les vecteurs tangents comme $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. OU nous pourrions suivre votre dernière suggestion et utiliser $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Le vecteur tangent pointera toujours dans le bon sens mais pas de long r est bien défini et la définition ne vous permet plus de tourner dune manière qui mélange les coordonnées car elle singularise $ x $.
- Le livre nexplique-t-il pas quelque part que les quatre vitesses sont définies de cette façon pour que ce soit un quatre vecteurs de Lorentz?
- @ jacob1729 pouvez-vous me donner un exemple? Je ' suis assez confus avec ce sujet
Réponse
@Milan a déjà répondu aux problèmes techniques de votre définition.
Je voudrais signaler des problèmes conceptuels. Nous aimerions que la 4-vitesse caractérise en quelque sorte le mouvement dun objet à travers lespace-temps. Conceptuellement, il est logique dexiger quune telle quantité dépende uniquement des quantités qui ont une relation directe avec ce mouvement. Donc, apporter un temps dobservateur aléatoire qui na rien à voir avec le mouvement de lobjet serait une décision conceptuellement étrange. Il est logique de définir la 4-vitesse comme vecteur tangent à la ligne du monde des objets, car cette entité mathématique est directement liée à et donc aussi avec le mouvement des objets. Bien sûr, nous avons besoin dune certaine paramétrisation de la ligne du monde, qui serait idéalement naturelle à la ligne du monde / mouvement lui-même et ne dépend pas de quantités externes. Puisque dans lespace-temps, chaque objet a ses propres horloges, cette courbe est naturellement paramétrée par lhorloge de lobjet lui-même, cest-à-dire par son heure propre.
Notez que de cette façon, vous navez pas du tout besoin de parler du groupe de Lorentz. Quand jai appris la vitesse 4 pour la première fois, la décision dutiliser le temps approprié dans la dérivée ma semblé une décision aléatoire de créer simplement un 4 vecteur de Lorentz. Mais cela a en fait des raisons géométriques plus profondes, comme jai essayé de lexpliquer.
Commentaires
- Pouvez-vous recommander un livre de relativité qui explique ces sujets comme vous lavez expliqué?
- @Lil ' Gravity pas vraiment, mais je peux vous donner trois livres qui me démarquent personnellement. Misner, Wheeler, Thorne – La gravitation explique la relativité générale et la géométrie différentielle à un niveau très intuitif – ainsi que les motivations physiques pour la plupart des mathématiques, et Wald – La relativité générale est un excellent livre pour une approche plus formelle et géométrique pour voir clairement comment les concepts sont définis abstraitement sans avoir besoin dun système de coordonnées. Ensuite, il y a Fecko – Géométrie différentielle et groupes de Lie pour les physiciens, que je considère comme le meilleur manuel sur la géométrie différentielle.
Réponse
La première définition se transforme en quatre vecteurs: $ \ dfrac {dx ^ { » \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
La deuxième définition ne se transforme pas tout à fait en quatre vecteurs: $ \ dfrac {dx ^ {« \ mu}} {dt »} = \ dfrac {dt} {dt « } \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Cela a du sens, car dans la première définition, vous divisez les différentiels dun quatre vecteurs (qui eux-mêmes se transforment également en quatre -vector) par un scalaire (invariant sous le groupe de Lorentz).