Lopérateur de spin QM peut être exprimé en termes de matrices gamma et jessaie de faire un exercice où je prouve un identité qui utilise $ \ gamma ^ 5 $ et $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Lors de ma première tentative, jai fait cela directement dans la représentation Dirac, mais lexercice indique que je ne peux pas le faire, est-ce que quelquun peut le conseiller? Y a-t-il une identité ou une astuce qui me permettrait de faire cela?
Pour clarifier, $ \ alpha $ est la matrice suivante où les éléments non nuls sont les matrices de Pauli:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
où
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Commentaires
- Quest-ce que $ \ alpha $ et $ {\ bf S} $ explicitement?
- Alpha est la matrice dont les entrées ne sont pas sur la diagonale principale sont des matrices de Pauli, mais je ne sais pas comment cela aide.
- Comment voulez-vous que nous vous aidions à prouver une identité sans une définition claire de tous les symboles impliqués?
- @Hollis Vous pouvez sûrement au moins dire ce que $ \ alpha $ est censé signifier. Ce ' nest pas une notation standard comme le sont les matrices gamma.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ est aussi standard que les matrices $ \ gamma $. La plupart des livres de physique standard présentent $ \ mathbf {\ alpha} $ avant même les matrices $ \ gamma $.
Answer
Je suis les conventions de Wikipédia avec les définitions suivantes $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ où $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Ceci dit, nous notons maintenant $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Explicitement, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Ensuite, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Ainsi, $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$