Pourquoi la force est-elle un vecteur?

Euh … vous commencez avec un objet à se reposer et remarquer que si vous poussez dessus dans des directions différentes, il se déplace dans des directions différentes? Remarquez ensuite que vous pouvez organiser plus de deux (trois pour les géométries planes et quatre pour les géométries 3D complètes) de forces non colinéaires pour sannuler (jespère que vous avez fait un exercice de table de force dans votre classe et que vous lavez fait vous-même).

La démonstration sur un objet déjà en mouvement est un peu moins évidente mais vous pouvez prendre les idées ici et les généraliser.

Dans un sens cest tellement évident quil est difficile de répondre car presque tout que vous faites avec des forces utilise leur nature vectorielle.

Commentaires

• Ce nest évident que pour les gens habitués aux vecteurs. Au bout dun moment, vous vous y êtes tellement habitué que vous oubliez quil était déroutant dapprendre. Vous avez oublié ce que vous avez fait et vous ne saviez pas ‘ à lépoque. Il est difficile de bien expliquer les choses aux débutants. EG safeshere Le commentaire de ‘ est correct. Mais quelquun qui se demande pourquoi la force est un vecteur se demandera aussi pourquoi lélan est. Je me souviens bei ng a confus que lénergie cinétique a une direction évidente, mais elle nest ‘ t un vecteur.
• Lénergie cinétique na pas de direction. Lélan dun objet a une direction. Un objet de 500 g se déplaçant à 2 m / s dans la direction x positive na pas le même élan quun objet de 500 g se déplaçant à 2 m / s dans la direction x négative, mais ils ont tous deux la même énergie cinétique.
• @BillN mmesser314 en est conscient, mais cest un malentendu assez courant parmi les étudiants dintroduction (en particulier les plus réfléchis). Il critique lidée que  » regarde que cela a une direction  » est un outil assez bon pour donner aux élèves pour distinguer les vecteurs des non-vecteurs. Je ne suis pas d’accord parce que ‘ je préfère traiter la question de l’énergie cinétique plutôt que d’essayer de donner aux élèves d’introduction une définition plus abstraite du vecteur ‘ ‘, mais cest un point à considérer.
• @dmckee Ouais, je me frayais un chemin à travers Biot-Savart aujourdhui en essayant dexpliquer pourquoi le courant, $ I $, nest pas ‘ un vecteur, mais $ d \ vec {\ ell} $ lest. Jai failli métrangler en marmonnant. 🙂 Ce ‘ est toujours un vecteur non satisfaisant pour moi, mais je me tiens le nez et passe à autre chose.
• @BillN Je pense que votre exemple KE est un bon exemple de la raison pour laquelle cela peut être difficile pour quelques nouveaux arrivants en physique. Je trouve que ‘ nest pas nécessairement évident que KE na pas de composante de direction jusquà ce que vous ‘ ayez fait quelques expériences qui montrent quil y a un scalaire  » énergie  » auquel il faut prêter attention.

Les vecteurs sont des éléments qui sajoutent comme de petites flèches. Les flèches ajoutent la pointe à la queue.

Le nombre de roches nest pas un vecteur. 2 rochers + 2 rochers = 4 rochers.

Le déplacement est un vecteur. Si vous vous déplacez de 2 pieds vers la gauche et de 2 pieds vers la gauche, vous avez bougé de 4 pieds. Deux flèches de 2 pieds de long pointant vers la gauche ajoutées de la pointe à la queue sont équivalentes à une flèche de 4 pieds de long pointant vers la gauche.

Si vous vous déplacez de 2 pieds vers la gauche et de 2 pieds vers la droite, vous êtes revenu au départ. Cest la même chose de ne pas bouger du tout. Vous ne pouvez pas ajouter de roches de cette façon.

La force ajoute comme ceci. Deux petites forces à gauche sont équivalentes à une grande force à gauche. Des forces égales à gauche et à droite sont équivalentes à aucune force. Cest pourquoi la force est un vecteur.

Edit – Les commentaires soulèvent un point que jai passé sous silence. Ce point nest généralement pas soulevé lors de lintroduction de vecteurs.

Les mathématiciens définissent un vecteur comme des choses qui se comportent comme de petites flèches lorsquelles sont additionnées et multipliées par des scalaires. Les physiciens ajoutent une autre exigence. Les vecteurs doivent être invariants sous les transformations du système de coordonnées.

Une petite flèche existe indépendamment de la façon dont vous la regardez. Une petite flèche ne change pas lorsque vous tournez donc elle est maintenant tournée vers lavant. De manière équivalente, les petites flèches ne changent pas si vous faites pivoter la flèche de sorte quelle soit tournée vers lavant.

Cest parce que lespace est homogène et isotrope. Il ny a pas dendroits ou de directions spéciaux dans lespace qui vous changeraient ou changeraient de flèche sils étaient déplacés vers un nouvel emplacement ou une nouvelle orientation. (Si vous vous éloignez de la Terre, la gravité est différente. Si cela compte, vous devez également déplacer la Terre.)

En revanche, un scalaire est un nombre unique qui ne change pas sous les transformations du système de coordonnées. Le nombre de roches est un scalaire.

Les coordonnées qui décrivent un vecteur changent lorsque le système de coordonnées est modifié. La composante gauche dun vecteur nest pas un scalaire.

Il existe un espace vectoriel mathématique 1-D parallèle à la coordonnée gauche dun vecteur. Si vous faites pivoter le système de coordonnées, il peut être parallèle à ce qui est devenu le composant avant. Un physicien ne dirait pas que cest un espace vectoriel.

Commentaires

• Ce que vous avez expliqué correspond également à un scalaire signé. Vous devriez avoir inclus un  » forward  » ou  » up  » mouvement pour le rendre plus clair.
• @RalfKleberhoff – Vrai. Vous soulevez un bon point.
• @RalfKleberhoff Comment un scalaire signé nest-il pas un vecteur dans une seule dimension? Vraiment. Cela ma toujours dérouté. Il semble avoir beaucoup, beaucoup plus en commun avec les vecteurs que les scalaires.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Bonne question. Jai mis à jour ma réponse pour y remédier.

Un petit pic: la force est pas un vecteur. Comme lélan, il sagit dun covecteur ou une forme , et dune covariante. Vous pouvez le voir de plusieurs manières:

• du principe du travail virtuel: la force est une fonction linéaire mappant des déplacements infinitésimaux $ \ delta \ mathbf {x} $ (un vecteur) à des changements infinitésimaux dans énergie $ F \ delta \ mathbf {x} $ (un scalaire) et donc un covecteur par définition.
• La deuxième loi de Newton $ F = ma $: laccélération est un vecteur, qui est « indexé » par la masse pour donner de la force.
• les forces conservatrices proviennent du différentiel dénergie potentielle, $ F = -dV $, et le différentiel dune fonction est une forme unique (covariante).

La différence entre un vecteur et un covecteur peut ne pas avoir de sens si vous « Nous commençons tout juste à apprendre la physique, et pour linstant, savoir que des forces peuvent être » ajoutées bout à bout « comme des vecteurs peut suffire pour des calculs pratiques. Mais cest quelque chose auquel vous devriez commencer à prêter attention à mesure que votre compréhension mûrit: comme lanalyse dimensionnelle, suivre attentivement ce que sont vos objets physiques, mathématiquement, est utile à la fois pour approfondir votre compréhension et pour détecter les erreurs.

Commentaires

• Je pense que cest un commentaire utile car il illustre que  » cest la façon la plus naturelle de penser à la force  » nest en fait pas nécessairement vrai. Les covecteurs sont des choses assez naturelles et vous pouvez imaginer un programme qui fonctionne avec eux autant quavec les vecteurs. Cest une tradition de notre système éducatif que nous ne faisons pas (au moins explicitement).
• @FrancisDavey Je dirais plutôt que la tradition est que nous ne faisons pas la distinction entre vecteurs et convecteurs jusquà bien trop tard , et appelez-les simplement tous les vecteurs. (Jai ‘ t apprendre la distinction explicitement jusquà ce que je prenne la relativité générale, ou peut-être la mécanique quantique avec des soutiens-gorge et des kets. Cela devrait ‘ ve ont été explicites dans le premier cours dalgèbre linéaire, où ils sont apparus comme des vecteurs colonnes et des vecteurs lignes, mais ce nétait pas ‘ t explicite.)
• Ne vaut pas un vote défavorable, mais ne vaut certainement pas un vote positif. Je ‘ ne suis pas ravi de cette  » comment les choses transforment  » définition de ce qui constitue un  » vecteur « . La définition mathématique dun vecteur est beaucoup plus simple: les vecteurs sont des membres dun espace vectoriel – un espace doté de deux opérations, qui obéissent à huit axiomes simples. Par cette définition, les forces (en mécanique newtonienne) sont des vecteurs.
• @DavidHammen Un  » vecteur  » peut signifier soit 1) un vecteur tangent , cest-à-dire un élément du fibré tangent (ou plus généralement les (0,1) -tenseurs dune algèbre tensorielle) ou 2) un élément dun espace vectoriel général. Habituellement en physique, lorsque nous disons  » vecteur  » nous entendons  » (tangent) vecteur « : nous nappellerions ‘ t des scalaires, des fonctions, des 2-tenseurs, voire des covecteurs,  » vecteurs  » même si techniquement tous sont des éléments dun espace vectoriel. Notez que par définition # 2, même lOP ‘ s  » force un vecteur ou un scalaire  » est une question sans signification!
• Toutes ces choses sont de véritables vecteurs. Nous ‘ t généralement appelons ces vecteurs parce que ‘ n’est généralement pas une fonctionnalité utile. Si vous ‘ utilisez une définition différente de  » vector « , il doit être précisé .

Laccélération se transforme comme un 3-vecteur sous les rotations (groupe O (3)).

Laccélération se transforme comme un 4-vecteur sous les rotations et les boosts (groupe de Lorentz O (3,1)).

Laccélération peut bien faire partie dune structure plus large (par exemple: tenseur dindice 2 ) sous un plus grand groupe de transformations comprenant des rotations, des boosts, des déformations et des traductions.

Ce que je veux dire, cest que lorsque vous dites que laccélération (ou la force) est un vecteur à 3 (ou autre chose), vous devez spécifiez pour quel groupe de transformations. Par exemple, « laccélération se transforme comme un 3-vecteur sous des rotations », et cest pourquoi nous lappelons un 3-vecteur.

Commentaires

• Cette question concernait clairement la physique newtonienne, que l’auteur ne ‘ ne comprend pas pleinement. Vous ‘ faire irruption avec des stipulations provenant de domaines beaucoup plus complexes de la physique (dont lauteur na peut-être même pas besoin). Cest ‘ léquivalent de quelquun qui demande à propos de la loi de Bernoulli ‘ et que vous leur demandez de préciser si le fluide est visqueux. Veuillez expliquer les termes que vous utilisez et faire correspondre le niveau de technicité à la question.
• @CodyP Pas du tout intervenu! Eh bien, peut-être que la théorie des groupes est un peu plus élevée que nécessaire ici, mais … La définition dun vecteur est intimement liée à la façon dont la quantité se comporte sous la rotation des coordonnées. Le fait que nous simplifions cette idée à  » magnitude et direction  » ne ‘ t supprimer limportance de comprendre la rotation des systèmes de coordonnées et ce que ‘ est invariant et ce que ‘ nest pas. Cela peut être avancé, mais ‘ est essentiel pour répondre à lOP. Au niveau de Kleppner et Kalenkow, la personne doit être présentée à une définition plus large des vecteurs et des rotations de coordonnées.
• @CodyP Questions sur les sites Stack Exchange aren ‘ t juste pour lOP. Ils sont également une ressource durable pour les visiteurs ultérieurs. Des réponses de différents niveaux sont souhaitables, bien que Gary nobtienne probablement pas lacceptation de lOP ‘.
• Vrai, mais cela ‘ est toujours utile pour comprendre votre public cible et définir des termes tels que boosts, tenseur ou même  » groupe de transformations « . Vous pouvez, par analogie, parler des effets de la viscosité dans une question sur la loi de Bernoulli ‘, mais le faire sans précaution est plus susceptible de paraître pédant et déroutant quutile et clair.
• @CodyP vrai, mais peut-être quun jour OP revisite ses questions et comprend cela

La vraie réponse, à mon avis, ne réside pas dans certains arguments philosophiques sous-jacents sur ce quest une force. La vraie réponse est que penser la force comme un vecteur vous donne un modèle qui satisfait au critère le plus important pour tout modèle: il est daccord avec lexpérience. Cest aussi simple et agréable, ce qui est un bonus supplémentaire.

Penser les forces comme des vecteurs vous permettra de prévoir ce qui se passe lorsque vous faites des expériences, en particulier des expériences où vous appliquez plusieurs Par exemple, placez une caisse sur la glace et tirez dessus à laide de cordes avec des échelles à ressort intégrées pour mesurer lampleur de toute force est impliqué. Mesurez et notez toutes les forces et leurs directions, considérez les forces comme des vecteurs et calculez la force résultante agissant sur la caisse, ce qui devrait vous donner une prédiction de son accélération. Mesurez ensuite son accélération réelle. Les deux devraient être daccord, avec une certaine erreur.

Les gens ont fait des expériences comme celle-ci, à la fois plus et moins sophistiquées, depuis longtemps, et jusquà présent, nous navons rien trouvé pour indiquer que penser aux forces comme des vecteurs donne un résultat erroné. les forces en tant que vecteurs donneront très probablement des résultats précis la prochaine fois que nous aurons besoin de calculer une prédiction.

Nous apprenons donc à considérer les forces comme des vecteurs parce que cela fonctionne. Et puis les philosophes peuvent discuter de pourquoi ça marche, généralement en le replaçant dans un contexte plus large, qui a aussi résisté au test des expériences.

Cela étant dit, il y a du naturel moyens de proposer lidée même de considérer que la force est un vecteur. Plus précisément, chaque force a une direction et une grandeur. Comme indiqué dans dautres commentaires, cela ne signifie pas nécessairement quelle doit être un vecteur vecteur (lénergie cinétique a clairement une direction et une grandeur, mais nest généralement pas considérée comme un vecteur). Mais il suffit de se demander sil pourrait être un vecteur, et de commencer à concevoir des expériences autour de cette hypothèse.

Commentaires

• Changements dénergie cinétique sont scalaires. Il ny a pas dénergie cinétique absolue; si une énergie cinétique absolue est donnée sous forme de vecteur, elle est comprise comme étant relative à un cadre de référence, et indique essentiellement la quantité dénergie qui serait convertie si lobjet donné arrêtait de bouger par rapport à ce cadre. Il ne peut pas être traité simplement comme un vecteur; par exemple, deux masses égales se déplaçant dans des directions opposées, à la même vitesse par rapport au cadre de référence, najoutent pas dénergie cinétique nulle.
• @Kaz Votre  » aucun commentaire absolu  » ne sapplique également à lélan, de sorte que ‘ nest pas une bonne raison car lélan sest avéré utile pour réfléchir environ en tant que vecteur. De plus,  » deux masses égales se déplaçant dans des directions opposées, à la même vitesse par rapport au cadre de référence, ne sajoutent pas à lénergie cinétique nulle  » Je ne ‘ pas voir le problème. Lénergie cinétique devient une énergie interne si vous considérez les deux objets comme un seul système. Le problème apparaît lorsque vous passez à un cadre de référence mobile, auquel cas le vecteur dénergie cinétique somme deviendrait non nul. Ce nest pas une bonne propriété de transformation vectorielle.
• (Bien sûr, cela devient non nul. En fatigué. Le vrai problème est que quel vecteur non nul il devient dépend des propriétés internes du système. Les deux objets ont-ils la même taille et se déplacent-ils à la même vitesse, ou un objet est-il plus grand et plus lent? Cela affecte lénergie transformée  » vector « .)

Jai déjà posé cette question et y ai passé 5 bonnes heures. En fin de compte, lexplication en est simplement que le déplacement agit comme un vecteur. Et laccélération en étant la double dérivée de celle-ci agit également comme telle. Pourquoi le déplacement agit-il comme un vecteur ?? Eh bien, il suit les règles de la trigonométrie et les déplacements dans une direction sont indépendants du déplacement perpendiculaire à celui-ci. Par conséquent, nous définissons des concepts vectoriels pour englober ce comportement. Pourquoi le déplacement suit-il les règles de la trigonométrie ?? Eh bien, cela a été plus ou moins trouvé en observant plutôt quen dérivant. La base la plus fondamentale de tout ce qui concerne les mathématiques est aussi l’observation et la logique après tout.

Pour tirer le meilleur parti de le chemin: vous savez que la force est un vecteur de sa définition.

Pour démontrer que cest vraiment le cas, vous feriez des expériences: commencez par attacher trois balances à ressort (comme celles que les pêcheurs utilisent pour peser le poisson) lune à lautre au même point, et tirez les autres extrémités du se met à léchelle horizontalement à des angles de 120 degrés avec une force égale non nulle F. La configuration est dans le magnifique graphique ascii ci-dessous, et vous pouvez dire que les forces sont égales en regardant les lectures sur chaque échelle.

 F / / F ----- o \ \ F 

Vous remarquerez également que le point dattache au milieu reste stationnaire, cest-à-dire que la force nette est nulle.

Si F était un scalaire, il serait impossible dajouter ou de soustraire exactement 3 F non nuls dans nimporte quel ordre, et dobtenir 0 en conséquence.

Maintenant que vous savez que la force nest pas un scalaire, vous essaieriez alors de trouver un moyen pour que les trois F sadditionnent à zéro, et vous remarquerez que si vous associez la direction de chaque ressort à chaque F, vous pouvez obtenir exactement cela:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Vous menez ensuite dautres expériences, dans diverses configurations, et constatez que dans chaque cas, traiter la force comme un scalaire associé à une direction donne le résultat correct, à quel point vous se sentirait justifié de dire: aux fins de calcul, la force a à la fois une grandeur et une direction .

Un vecteur, en revanche, n’est rien de plus qu’une grandeur associée à une direction, vous avez donc montré expérimentalement que dans les limites de la mesure, la force est un vecteur .

Cela dépend de la nature de votre approche et votre interprétation du mot «vecteur». Conceptuellement, un vecteur spatial est un objet mathématique utilisé pour encapsuler des quantités qui ont à la fois une magnitude et une direction. Lorsque vous appliquez une force à quelque chose, le résultat net sur le mouvement de cet objet dépend non seulement de la force avec laquelle vous le poussez, mais aussi de la direction dans laquelle vous le poussez, il est donc nécessaire de modéliser les forces dune manière qui prend la composante de direction en considération. Cest tout aussi vrai en trois dimensions quen une. Cest la façon la plus simple dy penser.

Dun point de vue mathématique, comme vous lavez déjà mentionné, cest implicite dans la définition.

« Nous avons axé notre discussion sur le mouvement unidimensionnel. Il est naturel de supposer que pour un mouvement tridimensionnel, la force, comme laccélération, se comporte comme un vecteur. « – (Introduction à la mécanique) Kleppner et Kolenkow.

Newton lui-même a fait de la nature vectorielle des forces les premier et deuxième corollaires de ses trois lois du mouvement:

Corollaire I:
Un corps par deux forces jointes décrira la diagonale dun parallélogramme, en même temps quil décrirait les côtés, par ces forces écartées .

Corollaire II:
Et doù la composition de nimporte quelle force directe AD, parmi deux forces obliques AC et CD quelconques; et, au contraire, la résolution de nimporte quelle force directe AD en deux forces obliques AC et CD: dont la composition et la résolution sont abondamment confirmées par la mécanique.

En bref, les forces sont des vecteurs cartésiens, au sens mathématique du terme de ce qui constitue un vect ou.

La dérivation de ces corollaires dans les Principia est plutôt suspecte. La deuxième loi de Newton traite de la force nette sur lobjet tandis que la troisième loi de Newton traite de la façon dont les forces individuelles viennent par paires. Mais comment relier ces forces individuelles à la force nette? Contrairement à Kleppner et Kolenkow, dautres textes font un meilleur travail, affirmer que les forces sont des vecteurs est en fait la quatrième loi du mouvement de Newton.

Une réponse donde manuelle (par exemple, Kleppner et Kolenkow) est de prétendre que les forces Une réponse non-handwave est de prétendre axiomatiquement que les forces sont des vecteurs, puis de passer à autre chose. Il ya une différence subtile mais significative entre ces deux réponses. La réponse de londe manuelle laisse les élèves confus. Laffirmation axiomatique invite les élèves à remettre en question laxiome. La prochaine étape est bien sûr de tester si laxiome sapplique dans un contexte de laboratoire.

En fait, une force physique est pas un vecteur. Cest une ligne en 3D. Une ligne avec une magnitude. Une force physique contient les propriétés suivantes

• Direction, $ \ mathbf {e} $
• Un point nimporte où le long de la ligne, $ \ mathbf {r} $
• Magnitude, $ F $

Pour décrire une force physique avec un vecteur, vous combinez la magnitude et la direction en $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ un seul vecteur. Mais il manque toujours les informations nécessaires pour décrire une force physique.

Vous avez également besoin dun emplacement (le point dapplication, ou la ligne daction comme on lappelle). Ici vous avez le choix entre un point réel $ \ mathbf {r} $, ou le moment équipollent autour de lorigine $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Si vous choisissez ce dernier, vous pouvez récupérer le point avec $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Le vecteur de force que vous connaissez est couramment utilisé car il obéit aux règles dalgèbre vectorielle

• Lajout est fait par composant $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• La mise à léchelle est effectuée par le composant $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Mais les emplacements de deux focales ne sadditionnent pas comme des vétérans.

Pour représenter les forces physiques avec des vecteurs, vous avez besoin de 6 quantités de composants appelées vis $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ qui suivent les règles de lalgèbre linéaire et portent les informations de position à lintérieur de celles-ci, produisant les résultats géométriques et algébriques corrects.

Commentaires

• Est-ce la n-ième définition dune force  » vector « ?
• Lire ce message pour la définition dun vecteur de vis.

Réfléchissons à ce qui se passerait si la force était pas un vecteur.

Tout dabord, notez que:

Les lois de la physique sont invariantes dans lespace. Un objet se comporte de la même manière lorsquil est sollicité par une force que ce soit à Paris ou à Pékin.

De plus, nous notons:

Les lois de la physique sont invariantes sous rotation spatiale. Si vous frappez un ballon de football, vous vous en éloignerez, que vous lêtes ou non face à louest ou à lest.

Imaginons maintenant que nous appliquions une force à une balle posée sur une table. Disons que nous observons que:

La balle commence à rouler vers lest à une vitesse de 1 m / s.

Attendez. Doù vient « lest »? Pourquoi la balle ne tourne-t-elle pas vers louest ? Ainsi, nous concluons naturellement:

Il doit y avoir des informations supplémentaires contenues dans le force que nous avons appliquée à la balle.

Cette information supplémentaire est direction .

Selon la 2ème loi du mouvement de Newton, la force agissant sur un corps est proportionnelle à la vitesse de changement de moment et est dans la direction dans laquelle la force est appliqué. Maintenant, à partir de la déclaration, vous pouvez voir que la force a une ampleur et une direction. Cest donc un vecteur. Vous pouvez même le voir comme le produit scalaire de la masse (scalaire) et de laccélération (vecteur) qui vous donnera un vecteur.