Pourquoi la gravité de la Terre ' est-elle plus forte aux pôles?

Le fait est que si nous approchons la Terre avec un ellipsoïde aplati, alors la surface de la Terre est une surface équipotentielle , $ ^ 1 $ voir par exemple ce post Phys.SE.

Maintenant, parce que le rayon polaire est plus petit que le rayon équatorial, la densité des surfaces équipotentielles aux pôles doit être plus grande quà léquateur.

Ou de manière équivalente, lintensité du champ $ ^ 2 $ $ g $ aux pôles doit être plus grande quà léquateur.

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$ ^ 1 $ Notez que le potentiel se réfère ici à leffet combiné des forces gravitationnelles et centrifuges. Si nous versons un peu deau sur une surface équipotentielle, il ny aurait pas de sens découlement préféré.

$ ^ 2 $ De même, la force du champ, connue sous le nom de little $ g $ , fait référence au effet combiné des forces gravitationnelles et centrifuges, même si $ g $ est souvent (avec désinvolture et quelque peu trompeur) appelé la constante gravitationnelle à la surface de la Terre.

Commentaires

• Largument  » vous rapprochant du centre de gravité  » fonctionne-t-il?
• Bien. Bien que la réponse nutilise jamais le terme  » force centrifuge,  » que ‘ est implicite dans largument, car léquipotentiel est un équipotentiel dans le cadre tournant.
• @Floris – Largument que  » vous êtes plus proche du centre de masse  » fonctionne en quelque sorte, où kinda-sorta signifie environ 3/2 (par opposition à un) dans ce cas. Environ 2/3 de la réduction à léquateur est attribuable au fait que léquateur se trouve à 21 km plus loin du centre de la Terre. Lautre 1/3 est directement dû à la force centrifuge (et bien sûr que le premier 2/3 est indirectement dû à la force centrifuge).
• @DavidHammen – Je suppose que dans mes livres  » la gravité  » nest que lattraction entre deux objets massifs; la force subie par une masse à la surface de la terre est modulée à la fois en distance et en rotation, mais seule la première est  » gravité  » en mes livres. De plus, depuis quOP a déclaré quil comprenait la partie rotation, je suggérais vraiment de me concentrer sur la manière la plus simple dénoncer la deuxième partie.
• Je pense que Lubos a écrit il y a longtemps une réponse qui explique quelque peu pourquoi la gravité due à léquatorial renflement est différent de ce que lon pourrait penser naïvement. Je ‘ verrai si je peux trouver cette réponse.

De nombreux endroits affirment que la gravité de la Terre est plus forte aux pôles que léquateur pour deux raisons:

1. Le centrifuge la force annule la gravité au minimum, plus à léquateur quaux pôles.
2. Les pôles sont plus proches du centre en raison du renflement équatorial, et ont donc un champ gravitationnel plus fort.

Version TL; DR: Il y a trois raisons. Par ordre de grandeur,

1. Les pôles sont plus proches au centre de la Terre en raison du renflement équatorial. Cela renforce la gravitation aux pôles et laffaiblit à léquateur.

2. Le renflement équatorial modifie la façon dont la Terre gravite. affaiblit la gravitation aux pôles et la renforce à léquateur.

3. La Terre tourne, donc un observateur lié à la Terre voit une force centrifuge. Th Cela na aucun effet aux pôles et affaiblit la gravitation à léquateur.

Voyons comment les deux explications de la question se comparent à lobservation.Le tableau suivant compare ce quun modèle de gravité sphérique sans accélération centrifuge prédit pour laccélération gravitationnelle au niveau de la mer à léquateur ($ g _ {\ text {eq}} $) et au pôle nord ($ g _ {\ text {p}} $) par rapport aux valeurs calculées en utilisant la formule de gravité Somigliana bien établie $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Erreur} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0,09995 & 0,05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Ce modèle simple fonctionne dans un sens qualitatif. Cela montre que la gravitation au pôle nord est plus élevée quà léquateur. Quantitativement, ce modèle simple nest pas très bon. Il surestime considérablement la différence entre la gravitation au pôle nord et léquateur, presque dun facteur de deux.

Le problème est que ce modèle simple ne tient pas compte de linfluence gravitationnelle du renflement équatorial. Une façon simple de penser à ce renflement est quil ajoute une masse positive à léquateur mais ajoute une masse négative aux pôles, pour un changement net de masse nul. La masse négative au pôle réduira la gravitation au voisinage du pôle, tandis que la masse positive à léquateur augmentera la gravitation équatoriale. Cest exactement ce que le médecin a ordonné.

Mathématiquement, ce que fait ce déplacement de masses est de créer un moment quadripolaire dans le champ de gravité terrestre. Sans entrer dans les détails des harmoniques sphériques, cela ajoute un terme égal à $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ au force gravitationnelle, où $ \ lambda $ est la latitude géocentrique et $ J_2 $ est la deuxième forme dynamique de la Terre. Lajout de ce terme quadripolaire au tableau ci-dessus donne ce qui suit:

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Erreur} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0,01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0,00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & -0,04817 & 0,05179 & 0,05186 & -0,00007 \ end {matrix} $

Cet ajout simple du quadripôle fait maintenant une très bonne correspondance.

Les nombres que jai utilisés dans ce qui précède:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, le paramètre gravitationnel de la Terre moins la contribution atmosphérique.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, le rayon équatorial de la Terre (valeur moyenne de la marée).

• $ 1 / f = 298.25231 $, l’aplatissement de la Terre (marée moyenne value).

• $ \ omega = 7.292115855 \ times 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, la rotation de la Terre taux.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, le deuxième facteur de forme dynamique de la Terre.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitation au niveau de la mer à léquateur.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, qui reflète la différence observée entre la gravitation à léquateur par rapport aux pôles.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, le carré de lexcentricité de la figure de la Terre.

Ces valeurs proviennent principalement de Groten, « Paramètres fondamentaux et meilleures estimations actuelles (2004) des paramètres dintérêt commun pour lastronomie, la géodésie et la géodynamique.  » Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , avec le paramètre gravitationnel standard modifié pour exclure la masse de latmosphère. Latmosphère de la Terre a un effet gravitationnel sur la Lune et sur les satellites, mais pas tellement sur les personnes se tenant à la surface de la Terre.

Commentaires

• Re  » Les pôles sont plus proches du centre de la Terre en raison au renflement équatorial. Cela renforce la gravitation aux pôles et laffaiblit à léquateur.  » : Cela pas être vrai si la Terre avait une distribution de masse uniforme .
• @PeterMortensen – Cest incorrect. Même si la Terre avait une densité uniforme, laccélération gravitationnelle au pôle serait supérieure à celle de léquateur dun facteur denviron 1 $ + \ frac 1 5 f $, où $ f $ est le facteur daplatissement. Voir Distribution de la force gravitationnelle sur un sphéroïde oblat non rotatif .
• It ‘ est vraiment utile davoir tout cela en un seul endroit; Je ne me suis jamais vraiment rendu compte de la gravité de la situation avant de la parcourir en entier.

Ici « Un argument simple qui ne nécessite aucune connaissance de trucs fantaisistes comme les équipotentiels ou les cadres de référence rotatifs. Imaginez que nous pourrions progressivement faire tourner la terre de plus en plus vite. Finalement, il se séparerait. Au moment où il commencerait à voler en éclats, ce qui se passerait serait que les parties de la terre à léquateur seraient à la vitesse orbitale. Lorsque vous êtes en orbite, vous ressentez une apparente apesanteur, tout comme les astronautes sur la station spatiale.

Donc, à un point de léquateur, laccélération apparente de la gravité $ g $ (cest-à-dire ce que vous mesurez dans un laboratoire fixé à la surface de la terre) descend à zéro lorsque la terre tourne assez vite. Par interpolation, nous nous attendons à ce que leffet de la rotation réelle soit de diminuer $ g $ à léquateur, par rapport à la valeur quil aurait si la terre ne tournait pas.

Notez que cet argument est automatiquement prend en compte la distorsion de la terre loin de la sphéricité. La forme oblate nest quune partie de linterpolation entre sphéricité et rupture.

Cest différent aux pôles. Quelle que soit la vitesse à laquelle vous faites tourner la Terre, une partie de la Terre au pôle nord ne sera jamais en orbite. La valeur de $ g $ changera en raison du changement de forme de la terre, mais cet effet doit être relativement faible, car il ne peut jamais conduire à une rupture.

La différence daccélération en chute libre entre les pôles et léquateur a deux facteurs contributifs. Je vais les discuter un par un.

Aux pôles le mesuré laccélération gravitationnelle est de 9,8322 $ m / s ^ 2 $
À léquateur, laccélération gravitationnelle mesurée est de 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Compte tenu du rayon équatorial de la Terre et du taux de rotation de la Terre, vous pouvez calculer combien daccélération centripète est nécessaire pour co-tourner avec la Terre lorsque vous êtes situé sur léquateur. Cela donne 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Cette accélération centripète requise (à léquateur) va au détriment de la véritable accélération gravitationnelle à léquateur.

Nous pouvons donc reconstruire ce que serait laccélération gravitationnelle équatoriale sur un corps céleste de même taille et densité et renflement équatorial que la Terre, mais non rotatif.

Accélération gravitationnelle réelle: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Il y a donc encore une différence de 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Cette différence restante est due à laplatissement de la Terre: à léquateur, vous êtes plus éloigné du centre dattraction gravitationnelle de la Terre quaux pôles.

Le point est de savoir si tous les effets ont été pris en compte. Les mathématiques résumeraient cet effet de plus de masse sous vos pieds encore moins que leffet de distance par rapport au centre de gravité

Une autre vue est. À léquateur, il y a des renflements près de chez vous. Mais de tous les autres côtés de la terre, le renflement est loin de vous. Comparez avec le poteau que tout renflement est également loin de vous, cela compte la différence