Sur la page Answers.com sur la longueur de Planck, jen vois deux presque identiques formules pour la longueur de Planck qui ne diffèrent que par lutilisation de h et hbar. Cependant, les constantes sont les mêmes et ma calculatrice donne la bonne réponse pour hbar au lieu de h, donc la première utilisation de h était probablement destinée à signifier hbar. Pourquoi lOxford Dictionary (et mon manuel!) Nutilise-t-il pas hbar à la place?
UPDATE: léquation (du dictionnaire Oxford?) Dont je parlais qui utilise h: 
et léquation de Wikipédia qui utilise hbar, mais donne la même constante pour la longueur de Planck: 
Commentaires
- Les unités de Planck sont des choses dordre de grandeur, de toute façon. Puisque nous navons ' pas une théorie de gravitation quantique, nous ne connaissons ' pas son échelle dénergie exacte, donc notre connaissance de ces choses nest exacte quaux échelles que nous pouvons obtenir par analyse dimensionnelle. La multiplication par des nombres purs nest pas ' Je vais changer cela. Utiliser $ \ hbar $ au lieu de $ h $ équivaut à ' à droite ' de toute façon. Bien sûr, presque toute la mécanique quantique utilise $ \ hbar $, donc cela donnerait plus de sens ' ' pour utiliser ce dernier.
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la page answers.com vous mentionné utilise la formule suivante: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Notez quil y a le facteur $ 2 \ pi $ dans le dénominateur – donc $ h / 2 \ pi $ peut être simplifié comme le $ \ hbar $ habituel. Ils nont probablement pas pu saisir ce caractère ou ont voulu éviter la terminologie et les symboles qui ne sont connus que des physiciens. Mais il ny a pas derreur numérique sur la page answers.com. Quoi quil en soit, la définition ci-dessus équivaut à $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ qui est la longueur de Planck « non réduite » habituelle. Consultez Wikipedia pour la même formule:
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
Numériquement, cest 1,6 $ \ fois 10 ^ {- 35} $ mètres. (Mise à jour: lOxford Dictionary of English a une formule erronée – ils ont omis $ 2 \ pi $ et ont également oublié de traverser le $ h $. Mais ils signifient clairement la même longueur de Planck.) Parfois, les gens utilisent également le Planck «réduit» longueur qui est plus sophistiquée et « professionnelle » dans un sens: $$ L_ {Planck, réduit} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Notez que le $ 8 \ pi $ dans le numérateur peut également être fusionné avec $ \ hbar $ pour récupérer $ 4h $ – donc la longueur de Planck réduite est deux fois (à cause de la racine carrée) la mauvaise longueur de Planck que vous obtiendriez en utilisant $ h $ au lieu de $ \ hbar $. Mais quelle est la vraie raison pour laquelle $ 8 \ pi $ y a été ajouté?
La raison pour laquelle $ 8 \ pi G $ apparaît au lieu de $ G $ est que dans un certain sens, $ 8 \ pi G $ est plus naturel une constante que $ G $: cette discussion est analogue au traitement de $ 4 \ pi $ en électrodynamique. La constante $ 8 \ pi G $ est naturelle car laction dEinstein-Hilbert est $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ Le le coefficient le plus naturel serait $ 1/2 $ au lieu de $ 1/16 \ pi G $, ce qui rend naturel de fixer $ 8 \ pi G = 1 $. La longueur réduite de Planck est un peu plus longue (cinq fois environ) – moins extrêmement petite. Encore plus souvent, les physiciens des particules parlent de lénergie de Planck et de lénergie de Planck réduite qui sont respectivement proches de 10 $ ^ {19} $ et $ 10 ^ {18} $ GeV.
La convention pour la constante $ G $ a été choisi à lorigine par Newton qui voulait écrire la force gravitationnelle comme $ GMm / r ^ 2 $. Eh bien, il serait plus naturel davoir le facteur de $ 4 \ pi $ ou $ 8 \ pi $ dans le dénominateur, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Vous pouvez voir que $ \ Gamma $ est simplement $ \ Gamma = 8 \ pi G $, et il serait naturel de définir $ \ Gamma $ égal à un.
Jespère que je nai pas pour expliquer pourquoi $ \ hbar $ est plus naturel que $ h $ pour les physiciens adultes. Les versions « profanes » des formules peuvent être plus simples avec $ h $ – mais elles traitent de la longueur donde, etc. Les physiciens adultes savent que la longueur donde du sinus est proportionnelle à $ 2 \ pi $. Et les équations les plus fondamentales, telles que l’équation de Schrödinger ou les commutateurs de $ [x, p] $, prennent une forme plus simple en termes de $ \ hbar $ que de $ h $, de
Retour à $ G $: les gens devaient choisir la convention pour normaliser $ G $ dans des dimensions supérieures. La convention habituelle, comme implicitement utilisée ci-dessus, est que laction dEinstein-Hilbert a toujours le coefficient $ 1/16 \ pi G $. Cela implique que dans les dimensions despace-temps $ D $, la force « ne sera pas $ GMm / r ^ {D-2} $ mais elle aura quelques coefficients numériques dépendants de $ D $.
Meilleur souhaite Lubos
Commentaires
- Merci beaucoup Lubos! Je comprends quil devrait y avoir le Planck réduit ' s constante dune manière ou dune autre (avec hbar ou avec h sur 2 pi).Cependant, je vois une différence entre léquation de Wikipedia ' et celle dOxford dict ', comme je ' Jai mis à jour la question à afficher.
- Merci pour la mise à jour, mauvais nom dutilisateur. Le dictionnaire Oxford a une erreur – ils ont oublié de couper le $ h $, soit à cause de polices insuffisantes ou décrivains incompétents haha.
Réponse
Cela doit être lié à des problèmes de composition. Les unités naturelles (Planck « s) ont hbar = 1, et non h = 1.