Pourquoi lespérance est-elle la même que la moyenne arithmétique?

De manière informelle, une distribution de probabilité définit le fréquence relative des résultats dune variable aléatoire – la valeur attendue peut être considérée comme une moyenne pondérée de ces résultats (pondérée par la fréquence relative). De même, la valeur attendue peut être considérée comme la moyenne arithmétique dun ensemble de nombres générés en proportion exacte de leur probabilité de se produire (dans le cas dune variable aléatoire continue, ce nest pas exactement vrai puisque les valeurs spécifiques ont une probabilité de 0 $).

La connexion entre la valeur attendue et la moyenne arithmétique est plus claire avec une variable aléatoire discrète, où la valeur attendue est

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

où $ S $ est lespace échantillon. À titre dexemple, supposons que vous ayez une variable aléatoire discrète $ X $ telle que:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {avec probabilité} 1/8 \\ 2 & \ mbox {avec probabilité} 3/8 \\ 3 & \ mbox {avec probabilité} 1/2 \ end {cases} $$

Autrement dit, la fonction de masse de probabilité est $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ et $ P (X = 3) = 1/2 $. formule ci-dessus, la valeur attendue est

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2,375 $$

Considérons maintenant les nombres générés avec des fréquences exactement proportionnelles à la fonction de probabilité de masse – par exemple, lensemble des nombres $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – deux $ 1 $ s, six $ 2 $ s et huit $ 3 $ s. Prenons maintenant la moyenne arithmétique de ces nombres:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2,375 $$

et vous pouvez voir quil « est exactement égal à la valeur attendue.

Commentaires

• Cela ‘ ne serait-il pas mieux illustré en utilisant lensemble plus simple de {1,2,2,2,3,3,3,3}? Lexpression montrant larithmétique la moyenne de cet ensemble est identique à lexpression indiquant la valeur attendue de cette variable (si vous convertissez les produits pondérés en sommes simples).
• Re:  » Le expression indiquant la moyenne arithmétique de cet ensemble est identique à lexpression indiquant la valeur despérance de cette variable (si vous convertissez les produits pondérés en sommes simples)  » – Oui @Dancrumb, cétait le point entier 🙂

Lespérance est la valeur moyenne ou la moyenne dune variable aléatoire et non une probabilité distribution. En tant que tel, il est e variables aléatoires la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable aléatoire, où la pondération est fonction de la fréquence relative doccurrence de ces valeurs individuelles. Pour une variable aléatoire absolument continue, cest lintégrale des valeurs x multipliée par la densité de probabilité. Les données observées peuvent être considérées comme les valeurs dun ensemble de variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique. La moyenne de léchantillon (ou espérance de léchantillon) est définie comme lespérance des données par rapport à la distribution empirique des données observées. Cela en fait simplement la moyenne arithmétique des données.

Commentaires

• +1. Bonne capture re:  » Lespérance est la valeur moyenne ou moyenne dune variable aléatoire et non une distribution de probabilité « . Je nai ‘ pas remarqué cette subtile utilisation abusive de la terminologie.

Faisons très attention aux définitions:

La moyenne est définie comme la somme dune collection de nombres divisée par le nombre de nombres de la collection. Le calcul serait « pour i en 1 à n, (somme de x sous i) divisée par n. « 

La valeur attendue (EV) est la valeur moyenne à long terme des répétitions de lexpérience quelle représente. Le calcul serait » pour i dans 1 à n, somme de lévénement x sub i fois sa probabilité (et la somme de tous les p sub i doit = 1). « 

Dans le cas dun dé juste, il est facile de voir que le moyenne et EV sont les mêmes. Moyenne – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 et EV serait:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0.167 6 1.00

EV = sum (p * x) = 3.50

Mais que se passerait-il si le dé nétait pas « juste ». Un moyen facile de faire un dé injuste serait de percer ah ole dans le coin à lintersection des faces 4, 5 et 6.De plus, disons maintenant que la probabilité de lancer un 4, 5 ou 6 sur notre nouveau dé tordu amélioré est maintenant de 0,2 et la probabilité de lancer un 1, 2 ou 3 est maintenant de 0,133. Cest la même chose dé avec 6 faces, un numéro sur chaque face et la moyenne de ce dé est toujours de 3,5. Cependant, après avoir lancé ce dé plusieurs fois, notre EV est maintenant de 3,8 car les probabilités pour les événements ne sont plus les mêmes pour tous les événements.

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = sum (p * x) = 3.80

Encore une fois, soyons prudent et revenons à la définition avant de conclure quune chose sera toujours « la même » quune autre. Regardez comment un dé normal est mis en place et percez un trou dans les 7 autres coins et voyez comment les EV changent – amusez-vous.

Bob_T

La seule différence entre « moyenne » et « valeur attendue » est que la moyenne est principalement utilisée pour la distribution de fréquence et lespérance pour la distribution de probabilité. Dans la distribution de fréquence, lespace déchantillonnage se compose de variables et de leurs fréquences doccurrence. Dans la distribution de probabilité, lespace déchantillonnage se compose de variables aléatoires et de leurs probabilités. Nous savons maintenant que la probabilité totale de toutes les variables dans lespace déchantillonnage doit être = 1. Cest là que réside la différence fondamentale. Le terme dénominateur de lespérance est toujours = 1. (cest-à-dire Summation f (xi) = 1) Cependant, aucune restriction de ce type sur la sommation de la fréquence (qui est essentiellement le nombre total dentrées).