Commentaires
- Pas vraiment besoin de faire cela, même si on peut sattendre à ce que vous le fassiez. Elle ' est en fait une identité bien plus basique que tout ce qui exigerait une intégrale. Il vous suffit de mélanger les opérateurs dun côté à lautre de lexpression bra-ket, en utilisant la définition du conjugué hermitien.
Réponse
Comme la écrit leftaroundabout, lintégration par parties est inutile. Vous navez pas les expressions pour les opérateurs, donc il ny a aucun raisonnement pour cela. Mais vous pouvez utiliser ce qui suit: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} où jai utilisé la définition de conjugué hermitien, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ et base $ | c \ rangle $ des vecteurs propres dun opérateur dans un espace de Hilbert, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Réponse
Vous navez pas réellement besoin de choisir une base comme indiqué dans Réponse dAndrew McAdams.
Cest plus facile à prouver en notation mathématique (par opposition à la notation Dirac) où $ (\ cdot, \ cdot) $ est le produit interne, alors pour tous les vecteurs $ \ phi $ et $ \ psi $ dans lespace de Hilbert, et pour les opérateurs $ A $ et $ B $, nous avons \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} tandis que dautre part \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} ce qui implique $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $ comme vous le souhaitez.
Commentaires
- et ici comme une seule ligne, juste pour le plaisir: $ ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dague \ phi, B \ psi) = (B ^ \ poignard A ^ \ poignard \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dagger = B ^ \ dagger A ^ \ dagger $