Il sagit dune réponse de faible précision – mais simple –

Il vous permet de calculer uniquement la configuration dalignement radial des planètes.

Si vous souhaitez une approximation, disons, vous approximez la position des planètes comme les aiguilles dune horloge, vous pourriez faire le calcul par quelque chose comme ceci.

Supposons que $ \ theta_i $ est langle initial de la planète $ i $ au temps $ t_0 $ – mesuré à partir dun arbitraire mais fixe position, et $ l_i $ est la longueur de lannée – en jours – pour la planète $ i $.

Ensuite, il reprend la résolution de ce système déquations:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

De là, vous appliqueriez simplement le Théorème du reste chinois .

Trouver le x minimum, vous donnera langle que la planète qui à $ t_0 $ avait langle $ \ theta_i = 0 $ aurait parcouru jusquà ce quune configuration alignement soit atteinte. UNE en somme, vous choisissez la Terre comme planète mentionnée, puis divisez cet angle par une révolution complète (360 $ ^ {o} $) et vous obtiendrez le nombre dannées pour que cette configuration soit atteinte – à partir de la configuration $ t_0 $.

Les différents $ \ theta_i $ en degrés pour toutes les planètes au 1er janvier 2014 – vous pouvez lutiliser comme $ t_0 $:

\ begin {align} Mercure & \ quad 285,55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Terre & \ quad 100,46 \\ Mars & \ quad 155,60 \\ Jupiter & \ quad 104,92 \\ Saturne & \ quad 226,71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Source

Les différents $ l_i $ en jours pour toutes les planètes:

\ begin {align} Mercure & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224,7 \\ Terre & \ quad 365,26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturne & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Enfin sous une aproximation de valeurs entières et en utilisant ceci solveur en ligne pour le système déquations la réponse est $ x = 4,0384877779832565 \ fois 10 ^ {26} $ ce qui divisé par 360 $ ^ {o} $ vous donne environ $$ 1,1218 \ fois 10 ^ {24} \ quad \ text { ans} $$

Modifier 1

Je viens de trouver ce site avec lequel vous aimerez peut-être jouer. Cest une application flash interactive avec la position précise des planètes.

Je sais aussi que toutes les informations peuvent être obtenues à partir de cette page de la NASA et cest aussi précis que vous pouvez obtenir, mais cest tout simplement incompréhensible pour moi maintenant. Jessaierai de le réviser plus tard quand jaurai le temps.

Aussi ce livre de Jean Meeus intitulé Astronomical Algorithms couvre toutes les euqations et formules fondamentales – il na cependant rien à voir avec les algorithmes de programmation.

Edit 2

Voir que vous êtes un programmeur, cela pourrait valoir la peine de consulter le site de la NASA que jai mentionné ci-dessus, les données de toutes les planètes sont même accessibles via $ \ tt {telnet} $.Ou ce site Sourceforge où ils ont des implémentations pour de nombreuses équations décrites dans le livre également mentionné ci-dessus.

Commentaires

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ fonctionne de la même manière dans les commentaires. Je pense que votre approche est la meilleure que vous puissiez faire sans simulations excessives. Tout ce que vous avez à faire est dinsérer les données réelles; cest la partie qui ma fait hésiter à fournir une réponse.
• @Gerald oh Je pensais que le balisage des équations ne fonctionnait pas ‘ dans les commentaires. Oui, il me manque ‘ les données, notamment $ \ theta_i $. Jajouterai les différentes informations $ l_i $.
• Comment ce solarsystemscope pourrait-il montrer les positions relatives précises des planètes, lorsque leurs distances par rapport au Soleil ne sont pas correctes? Cela pourrait montrer correctement la position de chaque planète par rapport au Soleil de manière isolée et donc être bon pour cette question, mais pas pour trouver des conjonctions.
• @LocalFluff Cest vrai. Cela ne répond quaux configurations dalignement radial . Modifié.
• Il y a plusieurs erreurs dans cette réponse. Premièrement, en utilisant tous les chiffres de vos tableaux (ce qui implique la conversion en centidgrees et centidays), jobtiens en fait $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (du même outil en ligne), ce qui équivaut à 1,29 $ \ times10 ^ {33 } $ an. Je ne ‘ pas savoir comment vous avez obtenu la valeur inférieure, mais je soupçonne fortement que vous avez omis certains chiffres. Deuxièmement, cela montre que lors de lajout de plus de chiffres, la solution tend vers linfini: la bonne réponse est: lalignement radial ne se produit jamais . Enfin, supposer que les orbites des planètes ‘ suivent ce mouvement simple est tout simplement faux .

La bonne réponse est «  jamais « , pendant plusieurs les raisons. Premier , comme indiqué dans le commentaire de Florin, les orbites de la planète ne sont pas coplanaires et ne peuvent donc pas saligner , même si chaque planète pouvait être placée arbitrairement dans son plan orbital. Deuxième , même un alignement radial pur ne se produit jamais parce que les périodes de la planète sont incommensurables – leur les ratios ne sont pas des nombres rationnels. Enfin , les orbites des planètes évoluent sur des échelles de temps de millions dannées, principalement en raison de leur gravitation mutuelle tirer. Cette évolution est (faiblement) chaotique et donc imprévisible pendant de très longues périodes.

La mauvaise réponse par harogaston se rapproche essentiellement des périodes orbitales par le les nombres commensurables les plus proches, ce qui donne un temps très long (bien quil se soit trompé dun facteur de seulement 10 $ ^ {16} $).

Une question beaucoup plus intéressante (et peut-être celle qui vous intéressait réellement ) est la fréquence à laquelle les 8 planètes salignent presque radialement . Ici, «  presque  » pourrait simplement signifier «  à moins de 10 $ ^ \ circ $ vu du soleil « . À une telle occasion, lattraction gravitationnelle mutuelle des planètes salignera et entraînera donc des changements orbitaux plus importants que la moyenne.

Toute estimation de la période commune de plus de deux planètes (cest-à-dire, après combien de temps salignent-elles approximativement en longitude héliocentrique à nouveau?) dépend très fortement de lécart acceptable par rapport à lalignement parfait.

Si la période de la planète $ i $ est $ P_i $, et si lécart acceptable dans le temps est $ b $ (dans les mêmes unités que $ P_i $), alors la période combinée $ P $ de toutes les planètes $ n $ sont approximativement $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$ donc réduire lécart acceptable dun facteur 10 signifie augmenter la période commune dun facteur 10 $ ^ {n-1} $, qui pour 8 planètes est un facteur de 10 000 000. Il est donc inutile de citer une période commune si vous ne spécifiez pas également l’écart acceptable. Lorsque l’écart acceptable diminue à 0 (pour obtenir un «alignement parfait»), alors la période commune augmente à l’infini. Cela correspond à plusieurs commentateurs « déclarent quil ny a pas de période commune parce que les périodes ne sont pas proportionnelles.

Pour les périodes des planètes » énumérées par harogaston, $ \ prod_i P_i \ approx 1.35 \ times10 ^ 6 $ quand le $ P_i $ sont mesurées en années juliennes de 365,25 jours chacune, de sorte que la période courante en années est denviron $$ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ si $ b $ est également mesuré en années. Si les périodes sont approximées au jour le plus proche, alors $ b \ approx 0,00274 $ an et $ P \ approx 1,2 \ times10 ^ {24} $ ans. Si les périodes sont approximées au 0,01 jour le plus proche, alors $ b \ approx 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ et $ P \ environ 1,2 \ times10 ^ {38} $ ans.

La dérivation de la formule ci-dessus est la suivante:

Approximer les périodes des planètes par des multiples dune unité de base $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ où $ p_i $ est un nombre entier. Alors la période commune est au plus égale au produit de tout $ p_i $. Ce produit est toujours mesuré en unités de $ b $; il faut multiplier par $ b $ pour revenir aux unités dorigine. Donc , la période commune est approximativement $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

La dérivation ci-dessus ne tient pas compte du fait que $ p_i $ pourrait avoir des facteurs communs de sorte que lalignement se produise plus tôt que $ \ prod_i p_i $ le suggère. Cependant, le fait que deux $ p_i $ aient ou non des facteurs communs dépend fortement de la période de base choisie $ b $, il sagit donc effectivement dune variable aléatoire et naffecte pas la dépendance globale de $ P $ sur $ b $.

Si vous exprimez lécart acceptable en termes d angle plutôt quen temps , alors je mattends à ce que vous obteniez des réponses qui dépendent de la taille de lécart acceptable comme fortement comme pour la formule ci-dessus.

Voir http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html pour un graphique de $ P $ en fonction de $ b $ pour toutes les planètes, y compris Pluton.

EDIT:

Voici une estimation avec un écart acceptable en termes d angle . Nous voulons que toutes les planètes soient dans une plage de longitude de largeur $ δ $ centrée sur la longitude de la première planète; la longitude de la première planète est libre. Nous supposons que toutes les planètes se déplacent dans la même direction sur des orbites circulaires coplanaires autour du Soleil.

Parce que les planètes  » les périodes ne sont pas proportionnelles, toutes les combinaisons de longitudes des planètes se produisent avec la même probabilité. La probabilité $ q_i $ quà un moment donné la longitude de la planète $ i > 1 $ soit dans le segment de largeur $ δ $ centré sur la longitude de la planète 1 est égale à $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

La probabilité $ q $ que les planètes 2 à $ n $ soient toutes dans ce même segment de longitude centré sur la planète 1 est alors $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Pour traduire cette probabilité en un période moyenne, nous devons estimer combien de temps toutes les planètes sont alignées (à $ δ $ près) chaque fois quelles sont toutes alignées.

Les deux premières planètes à perdre leur alignement mutuel sont les plus rapides et les plus lentes des planètes. Si leur période synodique est $ P _ * $, alors ils « seront alignés pendant un intervalle $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ et ensuite désalignés pendant un certain temps avant de saligner à nouveau Ainsi, chaque alignement de toutes les planètes dure environ un intervalle $ A $, et tous ces alignements couvrent ensemble une fraction $ q $ de tous les temps. Si la période moyenne après laquelle un autre alignement de toutes les planètes se produit est $ P $, alors nous devons avoir $ qP = A $, donc $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Sil ny a que deux planètes, alors $ P = P _ * $ indépendamment de $ δ $, ce qui est comme prévu.

Sil y a beaucoup de planètes, alors la planète la plus rapide est beaucoup plus rapide que la plus lente, donc alors $ P _ * $ est presque égal à la période orbitale de la planète la plus rapide.

Ici aussi, lestimation du temps moyen entre les alignements successifs est très sensible à la limite décart choisie (sil y a plus de deux planètes impliquées), il est donc inutile de citer une telle période combinée si vous ne mentionnez pas également la déviation autorisée.

Il est également important de se rappeler que (sil y a plus de deux planètes) ces alignements (presque) de toutes ne se produisent pas régulièrement intervalles.

Maintenant, ajoutons quelques chiffres. Si vous voulez que les 8 planètes soient alignées à moins dun degré de longitude, le temps moyen entre deux de ces alignements est à peu près égal à $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ orbites de la planète la plus rapide. Pour le système solaire, Mercure est la planète la plus rapide, avec une période denviron 0,241 an, donc le temps moyen entre deux alignements des 8 planètes à moins dun degré de longitude est denviron 5 $ × 10 ^ {14} $ ans.

Si vous êtes déjà satisfait dun alignement à moins de 10 degrés de longitude, alors la période moyenne entre deux de ces alignements est à peu près égale à $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ orbites de Mercure, ce qui représente environ 500 millions dannées.

Quel est le meilleur alignement auquel nous pouvons nous attendre au cours des 1000 prochaines années? 1000 ans sont environ 4150 orbites de Mercure, donc $ (360 ° / δ) ^ 6 \ environ 4150 $, donc $ δ \ environ 90 ° $. Dans un intervalle de 1000 ans choisi au hasard, il y a en moyenne un alignement des 8 planètes sur un segment de 90 °.

Il existe un moyen beaucoup plus simple de le faire.

1) Recherchez la longueur de lannée solaire en jours terrestres

2) multipliez la longueur des années comme ceci: Année de Mercure * Année de Vénus * Année de la Terre * Année martienne * Année jovienne * Année Saturne * Année Uranus * Année Neptune

3) Divisez par 365 pour obtenir les années terrestres.

Et vous avez un moment où elles saligneront à nouveau longitudinalement (cest-à-dire les angles seront différents mais dune vue de dessus, ils formeraient une ligne). Il « ne salignera pas à une fréquence plus élevée parce que certaines de ces planètes ont un nombre décimal de jours terrestres dans leur année.

Commentaires

• 4) Sachez que le nombre que vous avez obtenu est bien supérieur à l heure Lyapunov du système solaire, et na donc pas de sens.

Techniquement, le vrai moyen de trouver la période entre lalignement des 8 planètes est de trouver le LCM de chacune de leurs 8 années.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Je comprends quil sagit dune estimation approximative car ils sont arrondis à lentier le plus proche, mais cela donne une bonne idée du nombre de jours que cela prendrait.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Cest combien dannées.

Commentaires

• Cela semble être la même méthode que celle décrite dans Caters ‘ s answe r .