Que signifie le terme exponentiel de la transformée de Fourier?

Cest une exponentielle complexe qui tourne indéfiniment sur le cercle unitaire du plan complexe:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Vous pouvez considérer la transformation de Fourier comme un calcul corrélation entre $ f (t) $ et une exponentielle complexe de chaque fréquence, en comparant leur similitude. Les exponentielles complexes comme celle-là ont la belle qualité quelles peuvent être le temps- décalé en les multipliant par un nombre complexe de magni unité tude (une exponentielle complexe constante). Si le résultat de la transformée de Fourier à une fréquence particulière est un nombre complexe non réel, alors lexponentielle complexe de cette fréquence peut être multipliée par ce nombre complexe pour la déplacer dans le temps de sorte que la corrélation avec $ f (t) $ est maximisé.

Si vous naimez pas penser à nombres imaginaires, nombres complexes et fonctions, vous pouvez également penser à lexponentielle complexe dans le FT comme un simple raccourci pour écraser une onde sinusoïdale et une onde cosinus (de la même fréquence) en une seule fonction qui nécessite moins de craie sur le tableau pour écrire.

Que ce soit la transformation de Fourier ou la transformation de Laplace ou la transformation en Z, etc. l’exponentielle est la fonction propre de Opérateurs linéaires et invariants dans le temps (LTI) . si une fonction exponentielle de «temps» entre dans un LTI, une exponentielle comme elle (mais mise à léchelle par la valeur propre) sort. ce que F.T. fait est de décomposer une fonction générale en une somme de ces exponentielles. cela peut être vu en regardant la inverse Transformée de Fourier.

La Transformée de Fourier:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

convertit une fonction en une intégrale de fonctions harmoniques. Vous pouvez les considérer comme des péchés et des cosinus parce que $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. La transformée de Fourier en tant que forme continue de la série de Fourier qui transforme tout signal périodique en une somme dautres signaux périodiques (harmoniques) réels:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

Dans la transformée de Fourier, vous pouvez penser aux coefficients $ a_n $ et $ b_n $ passant en revue les valeurs dune fonction continue. Pour pousser la comparaison plus loin, il existe une version complexe de la série:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Commentaires

• Essayez de vous en tenir à une variable indépendante, soit $ t $ ou $ x $, mais pas les deux. De plus, essayez de trouver un meilleur mot que ‘ hearken ‘, ce qui ne ‘ Cela na aucun sens ici.
• Vous manquez également $ \ omega $ dans les arguments des sinusoïdes et de la fonction exponentielle: $ \ cos (n \ omega t) $, etc.
• @MattL. Ai-je besoin de $ \ omega $? La Transformée de Fourier a $ e ^ {i \ omega t} $, mais dans la série,  » $ n $  » prend la place de $ \ omega $. Nest-ce pas ‘?
• Non, $ \ omega = 2 \ pi / T $, où $ T $ est la période de $ f (t) $, cest-à-dire à moins que $ T = 2 \ pi $ vous ayez besoin de $ \ omega $.
• Ok. Je vois ce que vous voulez dire.

Prenons le cas $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Alors

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Quand $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , les deux intégrandes oscillent autour de zéro et les intégrales sont effectivement nulles.Les seuls résultats non nuls sont

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

qui est souvent exprimé comme $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

En mots, pour toute valeur dargument $ \ omega $ , le $ e ^ {- i \ omega t} $ factor convertit le composant de $ f (t) $ à cette fréquence en $ 0 $ , et tous les autres composants loin de zéro. Ensuite, lintégrale infinie produit une mesure de la force du composant à $ 0 $ .

Notez que si $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , puis $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Cela signifie en fait que le signe de $ \ omega_0 $ peut être déduit sans ambiguïté de la fonction $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Il ne peut pas être déduit de $ \ cos (\ omega_0 t) $ , car il est trigonométriquement identique à $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . La transformée de Fourier gère cette ambiguïté en donnant des réponses non nulles à la fois à $ \ omega = \ omega_0 $ et $ \ omega = – \ omega_0 $ . Cela ne signifie pas que $ \ cos (\ omega_0 t) $ contient les deux fréquences, car $ \ omega_0 $ ne peut avoir quune seule valeur. Linterprétation correcte est que $ e ^ {i \ omega_0 t} $ contient plus dinformations, pas moins, que $ \ cos (\ omega_0 t) $ . La formule $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ ressemble à plus dinformations, mais il sagit en fait dune annulation dinformations.

Commentaires

•  » Cela ne veut pas dire $ cos (\ omega_0 t) $ contient les deux fréquences, car $ \ omega_0 $ ne peut avoir quune seule valeur.  » Non. Le cosinus est la somme de deux tons purs complexes de fréquences opposées (deux valeurs distinctes). Ce que vous pouvez ‘ t dire, cest le signe $ \ omega_0 $. Lune ou lautre est une interprétation valide, similaire à la sélection dune racine carrée. Donc par convention, les fréquences pour les tons purs à valeur réelle sont considérées comme positives.
• @Cedron – Considérons une fonction $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Et $ \ \ donc \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Devrait nous concluons que $ x ^ 2 $ est quelque chose de plus quune simple fonction sur la droite numérique réelle? Il est secrètement composé de deux fonctions complexes? Si oui, lesquels? … parce que jaurais tout aussi bien pu définir $ f (x) $ comme $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Ceci nest pas ‘ t sur la décomposition des fonctions. Vous auriez pu tout aussi bien dire $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ pour tout aussi spécieux dun argument. La phrase  » contient les deux fréquences  » est dans le contexte du FT (continu dans ce cas). Si $ cos $ navait quune seule fréquence, il ny aurait quune seule valeur non nulle dans le spectre.
• Je ne ‘ t pense quil est logique de discuter de nombreuses fréquences quun signal général contient, sans saccorder sur ce que signifie  » raisonnable  » décomposition en fonctions périodiques. Une fréquence nest alors quune expression abrégée pour une composante périodique dune fréquence . Une décomposition raisonnable ninclura pas, par exemple, des composants qui sannulent complètement, ou des composants identiques.
• @Olli – Merci pour laide éditoriale avec mes deltas. Je pensais que cela ‘ ne semblait pas tout à fait correct, mais je ne ‘ pas compris pourquoi.