Que sont les FOC et les SOC?

Supposons que vous ayez une fonction différentiable $ f (x) $, que vous souhaitez optimiser en choisissant $ x $. Si $ f (x) $ est une utilité ou un profit, alors vous voulez choisir $ x $ (cest-à-dire le lot de consommation ou la quantité produite) pour rendre la valeur de $ f $ aussi grande que possible. Si $ f (x) $ est une fonction de coût, alors vous voulez choisir $ x $ pour rendre $ f $ aussi petit que possible. FOC et SOC sont des conditions qui déterminent si une solution maximise ou minimise une fonction donnée.

Au premier cycle, ce qui est généralement le cas, cest que vous devez choisir $ x ^ * $ tel que le dérivé de $ f $ soit égal à zéro: $$ f « (x ^ *) = 0. $$ Ceci est le FOC. Lintuition de cette condition est quune fonction atteint son extremum (maximum ou minimum) lorsque sa dérivée est égale à zéro (voir limage ci-dessous). [Vous devez être conscient quil y en a plus subtilités impliquées: recherchez des termes tels que «solutions intérieures vs coins», «global vs local maximum / minimum» et «point de selle» pour en savoir plus].

Cependant, comme lillustre limage, trouver simplement $ x ^ * $ où $ f « (x ^ *) = 0 $ ne suffit pas pour conclure que $ x ^ * $ est la solution qui maximise ou minimise la fonction objectif. Dans les deux graphiques, la fonction atteint une pente nulle à $ x ^ * $, mais $ x ^ * $ est un maximiseur dans le graphique de gauche, mais un minimiseur dans le graphique de droite.

Pour vérifier si $ x ^ * $ est un maximiseur ou un minimiseur, vous avez besoin du SOC. Le SOC du maximiseur est $$ f «  » (x ^ *) < 0 $$ et le SOC du minimiseur est $$ f «  » (x ^ *) > 0. $$ Intuitivement, si $ x ^ * $ maximise $ f $, la pente de $ f $ autour de $ x ^ * $ diminue. Prenez le graphique de gauche, où $ x ^ * $ est un maximiseur. On voit que la pente de $ f $ est positive à gauche de $ x ^ * $ et négative à droite. Ainsi, autour du voisinage de $ x ^ * $, lorsque $ x $ augmente, $ f « (x) $ diminue. Lintuition pour le cas du minimiseur est similaire.

Commentaires

• Mais pourquoi ' nest pas appelé " Premier test de dérivée " reste un mystère pour moi.

Par exemple, quand vous parlez de maximisation du profit à partir dune fonction de profit $ \ pi (q) $, la condition principale pour un maximum est que: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Ceci est le FOC (premier ordre condition).

Cependant, pour être sûr que ce que vous avez trouvé ci-dessus est un maximum vrai , vous devriez également vérifier une condition « secondaire » qui est: $$ \ frac {\ partial ^ 2 \ pi} {\ partial q ^ 2} < 0 $$ Ceci sappelle le SOC (condition du second ordre).

Lobjectif est de trouver un maximum (ou minimum) local dune fonction.

Si le f onction est différenciable deux fois:

• Le premier test de la première dérivée vous dira sil sagit dun extremum local.
• Le test de la deuxième dérivée vous dira sil sagit « dun maximum local ou dun minimum.

Au cas où vous nest pas différentiable, vous pouvez faire un test extremum plus général.

Remarque: il est impossible de construire un algorithme pour trouver un maximum global pour une fonction arbitraire .

Les économistes néoclassiques renomment certainement ces deux méthodes mathématiques en conditions de premier ordre et conditions de second ordre pour avoir lair cool ou pour dautres raisons historiques. Pourquoi utiliser un nom largement utilisé alors que vous ne pouvez en créer quun?

Le terme est également utilisé pour la maximisation contrainte lorsquils utilisent le méthode du multiplicateur de Lagrange et conditions de Karush – Kuhn – Tucker . Encore une fois, je ne pense pas que le terme soit utilisé par des non-économistes.