Pour autant que je sache, lénergie de liaison gravitationnelle dune certaine distribution de masse est le négatif de son énergie potentielle gravitationnelle.
Jai essayé de calculer ce dernier pour une sphère solide de rayon $ R $, de masse $ M $ et de densité uniforme.
Par le théorème de la coquille (ou loi de la gravitation de Gauss), le champ à une distance $ r $ du centre de la sphère est donné par
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
où $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ est la masse enfermée dans une sphère de rayon $ r $.
Le potentiel gravitationnel en a la distance $ r $ créée par cette distribution est donc
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Lénergie potentielle auto-gravitationnelle est la somme des énergies potentielles gravitationnelles $ U \ cdot dm $ sur tous les éléments de masse $ dm $ de la distribution.
Procédons par intégration shell. La masse contenue dans la coque de rayon intérieur $ r $, rayon extérieur $ r + dr $ est simplement
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Lénergie potentielle propre du la sphère est donc
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
qui est exactement la moitié de la bonne réponse.
Jai vérifié plusieurs fois mon travail pour des erreurs simples, mais je ne parviens pas à localiser la source du facteur derreur $ 2 $. Cela me porte à croire quil y a quelque chose de fondamentalement faux avec la façon dont jai calculé lénergie.
Où est le problème?
Commentaires
- Dans votre MathJax vous ' utilise \ big pour les grands crochets, ce qui ne fonctionne pas '. Utilisez plutôt \ left et \ right. \ Big est un fixe size, tandis que \ left et \ right seront automatiquement mis à léchelle à la taille nécessaire pour le contenu inclus des crochets.
Answer
Le problème est la manière dont vous formez vos coquilles – quelles viennent de lintérieur ou de lextérieur des coquilles précédentes. Pour lénergie de liaison, cela signifie la quantité dénergie quil faudrait pour enlever séquentiellement chaque coquille successive à linfini. Ainsi, le potentiel doit être calculé par rapport à linfini, pas à lorigine; votre expression de potentiel suggérerait que chaque coque commence à lorigine et se développe à travers la masse existante jusquà un rayon $ r $, plutôt que de fusionner autour dun noyau déjà existant de lextérieur. Alors, calculez le potentiel comme
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Cela devrait résoudre le facteur de deux.
Terminologie mise à part, je pense que nous pouvons nous entendre sur le concept de la grandeur de lénergie signifie, si positif ou négatif na pas un impact énorme. Pour avoir une idée de lintégrale ci-dessus, imaginons une seule particule qui est entraînée par la gravitation de la boule encore en formation (avec rayon $ r $), plutôt que dune coquille. Lorsque la particule arrive de linfini, le potentiel quelle ressentira sera le potentiel gravitationnel newtonien habituel, jusquà ce quelle touche la surface de la balle. Maintenant, chaque petit morceau de masse $ dm $ dun shell en cours dajout ressentira également ce même potentiel; nous pouvons penser que le shell est de nombreuses petites particules venant de toutes les directions en même temps. Chaque fois que nous ajoutons une coque de cette manière, $ r \ rightarrow r + dr $, donc $ M_ {enc} $ augmente en conséquence, ce que nous prenons en compte dans lintégrale plus de $ r $. Ceci est en contraste avec lintégrale avec les bornes $ [0, R] $ dans la question, car une telle intégrale est plus proche de la quantité dénergie quil faudrait pour « gonfler » des coquilles de masse vers lextérieur depuis lorigine. Un tel processus exigerait que la balle soit totalement perméable lorsque les coquilles se gonflent à la surface, mais si tel était le cas, la balle entière seffondrerait immédiatement sur elle-même en raison de son manque de rigidité.
Commentaires
- Ok. Dabord, je ne sais pas ' quelle énergie de liaison gravitationnelle. Je sais seulement ce quest lénergie du potentiel personnel. Lénergie auto-potentielle dun système de masse $ m_1, … m_N $ est la somme de $ U_ {i, j} $ sur toutes les paires $ (i, j) $ avec $ i < j $ où $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ étant la distance entre les masses $ m_i $ et $ m_j $. Cest ce que jai essayé de calculer.
- Deuxièmement, votre intégrale ' na pas de sens pour moi. $ M_ {enc} (r) $ devrait être remplacé par $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh a raison: vous avez pris la mauvaise définition de lénergie de liaison. Consultez cet article Wikipedia pour le calcul complet: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: En fait, ce que jai calculé est lénergie potentielle auto-gravitationnelle, qui nest que le négatif de lénergie de liaison. Jai décrit lénergie de lauto-potentiel ci-dessus, cest-à-dire simplement lénergie de la distribution de masse due à son propre champ gravitationnel.
- Jai ajouté des précisions dans la réponse, car elle ne ' t rentre ici dans les commentaires. La différence essentielle entre nos deux quantités est la quantité dénergie impliquée dans lélimination de tous les morceaux de masse infiniment éloignés lun de lautre par rapport à la quantité dénergie nécessaire pour empêcher la balle de seffondrer sur elle-même. Le premier est lénergie de liaison gravitationnelle (due au potentiel personnel), et le second est plus une mesure de la rigidité minimale de la matière impliquée.
Réponse
Il y a des problèmes avec la façon dont vous calculez le potentiel et avec la façon dont vous calculez lénergie de liaison gravitationnelle.
Le champ gravitationnel à lintérieur de la sphère est radialement vers lintérieur et de magnitude $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Le champ gravitationnel à lextérieur de la sphère est radialement vers lintérieur et de magnitude $ GM / r ^ 2 $.
Le potentiel gravitationnel est le travail effectué par unité de masse portant cette masse de linfini à $ r $.
Le potentiel à un rayon $ r $ à lintérieur de la sphère est $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r « ^ 2} \ dr » + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr « } {R ^ 3} \ dr » $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Cependant, cela nest pas nécessaire pour calculer lénergie de liaison dune sphère, puisque lénergie de liaison gravitationnelle est la somme des énergies nécessaires pour éliminer les coquilles de masse de la surface dune sphère à linfini ( imaginez décoller les couches de la surface jusquà ce que vous atteigniez le centre).
Le potentiel à la surface dune sphère de masse $ M « $ est $ -GM » / R « $, où la densité constante $ \ rho = 3M « / 4 \ pi R » ^ 3 $. Ainsi $$ V (R « ) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R » ^ 2 $$ et lénergie de liaison est égale à $ V (R « ) $ multiplié par la masse dune coque, $ dM = 4 \ pi R « ^ 2 \ rho \ dR » $, intégré sur des coques de masse de zéro au rayon final de létoile.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R « ^ 2 \ 4 \ pi R » ^ 2 \ rho \ dR « $$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$