Quelle est la différence entre le retard de phase et le retard de groupe?

Tout dabord les définitions sont différentes:

• Retard de phase: (le négatif de) Phase divisé par la fréquence
• Retard de groupe: (le négatif de) Première dérivée de phase vs fréquence

En termes qui signifie:

• Retard de phase: Angle de phase en ce point de fréquence
• Retard de groupe: Taux de changement de phase autour de ce point de fréquence.

Quand utiliser lun ou lautre dépend vraiment de votre application. Lapplication classique du retard de groupe est les ondes sinusoïdales modulées, par exemple la radio AM. Le temps nécessaire au signal de modulation pour traverser le système est donné par le retard de groupe et non par le retard de phase. Un autre exemple audio pourrait être une grosse caisse: il sagit principalement dune onde sinusoïdale modulée, donc si vous voulez déterminer combien la grosse caisse sera retardée (et potentiellement étalée dans le temps), le retard de groupe est le moyen de le regarder.

Commentaires

•  » Phase absolue à ce point de la fréquence  » Ne ‘ t qui sappellerait simplement  » phase « ?
• Je voulais dire  » absolu  » par rapport à  » relatif « , mais je vois que cela peut être confondu avec  » valeur absolue « . Je ‘ je le modifierai
• une dernière différence importante: le retard de phase à une fréquence $ f $ est le retard du phase du signal quasi-sinusoïdal de fréquence $ f $ passé à travers le filtre. le délai de groupe est le délai de enveloppe ou  » groupe  » de la quasi-sinusoïde.

Ils ne mesurent pas tous les deux combien une sinusoïde est retardée. Le retard de phase mesure exactement cela. Le retard de groupe est un peu plus compliqué. Imaginez une courte onde sinusoïdale avec une enveloppe damplitude qui lui est appliquée de sorte quelle se fane et disparaisse, disons, une gaussienne multipliée par une sinusoïde . Cette enveloppe a une forme, et en particulier, elle a un pic qui représente le centre de ce «paquet». Le délai de groupe vous indique combien cette enveloppe damplitude sera retardée, en particulier combien le pic de ce paquet va passer.

Jaime y réfléchir en revenant à la définition du retard de groupe: cest le dérivé de phase. Le dérivé vous donne une linéarisation de la réponse de phase à ce point. En dautres termes, à une certaine fréquence, le retard de groupe vous indique approximativement comment la réponse de phase des fréquences voisines est liée à la réponse de phase à ce point. Maintenant, rappelez-vous comment nous utilisons une sinusoïde modulée en amplitude. La modulation damplitude prendra le pic de la sinusoïde et introduira des bandes latérales aux fréquences voisines. Donc, dune certaine manière, le retard de groupe vous donne des informations sur la façon dont les bandes latérales seront retardées par rapport à cette fréquence porteuse, et lapplication de ce retard changera la forme de lenveloppe damplitude dune certaine manière.

Le truc de ouf? Les filtres causaux peuvent avoir un retard de groupe négatif!Prenez votre gaussien multiplié par une sinusoïde: vous pouvez construire un circuit analogique de telle sorte que lorsque vous envoyez ce signal à travers, le pic de lenveloppe apparaîtra dans la sortie avant lentrée. Cela semble être un paradoxe, car il semblerait que le filtre Cest vraiment bizarre, mais une façon de penser est que puisque lenveloppe a une forme très prévisible, le filtre a déjà suffisamment dinformations pour anticiper ce qui va se passer. Si une pointe était insérée au milieu du signal, le filtre ne lanticiperait pas. Voici « un article vraiment intéressant à ce sujet: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Commentaires

• Lorsque vous dites  » image a … « , une image réelle serait vraiment utile ici.

Pour ceux qui ne peuvent toujours pas faire la différence, voici un exemple simple

Prenez une longue ligne de transmission avec un simple signal quasi-sinusoïdal avec une enveloppe damplitude, $ a (t) $ , à son entrée

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Si vous mesurez ce signal à la transmission fin de ligne, $ y (t) $ , cela pourrait venir quelque part comme ceci:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

où $ \ phi $ est la différence de phase entre lentrée et

Si vous voulez combien de temps cela prend la phase de la sinusoïde, $ \ sin (\ omega t) $ transmission de lentrée à la sortie puis $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ est votre réponse en secondes.

Si vous voulez combien de temps cela prend lenveloppe , $ a (t) $ , de la transmission sinusoïdale de lentrée à la sortie puis $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ est votre réponse en secondes.

Le retard de phase est juste le temps de déplacement pour une fréquence unique pendant le retard de groupe est la mesure de la distorsion damplitude si un tableau de fréquences multiples est appliqué.

Je sais que cest un joli vieille question, mais jai cherché une dérivation des expressions pour le retard de groupe et le retard de phase sur Internet. Il n’existe pas beaucoup de dérivations de ce type sur le net, alors j’ai pensé partager ce que j’ai trouvé. Notez également que cette réponse est plus une description mathématique qu’une description intuitive. Pour des descriptions intuitives, veuillez vous référer aux réponses ci-dessus. Donc, ici va:

Considérons un signal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

et transmettez-le via un LTI système avec réponse en fréquence

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Nous avons considéré que le gain du système était égal à lunité car nous nous intéressons à lanalyse de la manière dont le système modifie la phase du signal dentrée, plutôt que le gain. Maintenant, étant donné que la multiplication dans le domaine temporel correspond à la convolution dans le domaine fréquentiel, la transformée de Fourier du signal dentrée est donnée par

$$ X (j \ omega) = {1 \ sur 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

ce qui équivaut à

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Par conséquent, la sortie du système a un spectre de fréquences donné par

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Maintenant, pour trouver la transformée de Fourier inverse de lexpression ci-dessus, nous devons connaître la forme analytique exacte de $ \ phi (\ omega) $ . Donc, pour simplifier les choses, nous supposons que le contenu fréquentiel de $ a (t) $ inclut uniquement les fréquences nettement inférieures à la fréquence porteuse $ \ omega_0 $ . Dans ce scénario, le signal $ x (t) $ peut être considéré comme un signal modulé en amplitude, où $ a (t ) $ représente lenveloppe du signal cosinus haute fréquence. Dans le domaine fréquentiel, $ B (j \ omega) $ contient désormais deux bandes étroites de fréquences centrées sur $ \ omega_0 $ et $ – \ omega_0 $ (reportez-vous à léquation ci-dessus).Cela signifie que nous pouvons utiliser une extension de série de Taylor du premier ordre pour $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

où $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

En branchant ceci, nous pouvons calculer la transformée de Fourier inverse de la première moitié de $ B (j \ omega) $ comme

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

En remplaçant $ \ omega – \ omega_0 $ pour $ \ omega « $ , cela devient

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega « )) e ^ {j ((\ omega » + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega « $$

qui se simplifie en

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Brancher les expressions pour $ \ alpha $ et $ \ beta $ , cela devient

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

De même lautre moitié de la transformation de Fourier inverse de $ B (j \ omega) $ peut être obtenue en remplaçant $ \ omega_0 $ par $ – \ omega_0 $ . Notant que pour les signaux réels, $ \ phi (\ omega) $ est une fonction étrange, cela devient

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Ainsi , en ajoutant les deux ensemble, nous obtenons $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Notez les retards dans lenveloppe $ a (t) $ et le signal cosinus de la porteuse. Délai de groupe $ (\ tau_g) $ correspond au délai dans lenveloppe pendant le délai de phase $ (\ tau_p) $ correspond au retard dans la porteuse. Ainsi,

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Le retard de phase de tout filtre est le temps de retard que chaque composante de fréquence souffre en passant à travers les filtres (Si un signal se compose de plusieurs fréquences.)

Le groupe delay est le retard moyen du signal composite subi à chaque composante de la fréquence.